Одноканальная СМО с очередью

Среди СМО с очередью различают замкнутые и разомкнутые системы.

Замкнутыми называются СМО, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. В качестве примера такой СМО можно привести ремонтные мастерские на предприятиях.

Разомкнутыми называются СМО, в которых поступающий поток требований является неограниченным. Примерами таких систем могут являться магазины, кассы вокзалов.

Рассмотрим одноканальную СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения. Интенсивность входного потока требований равна λ, а интенсивность обслуживания μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО. Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂,..., S_k по числу требований, находящихся в ней:

S₀ — канал свободен;

S₁ —канал занят, очереди нет;

S₂ — канал занят, одно требование стоит в очереди;

S_k — канал занят, (к–1) требований стоят в очереди.

Граф состояний СМО имеет вид:

λ λ λ λ λ

μ μ μ μ μ

Если a<1, т.е. среднее число поступающих требований меньше среднего числа обслуженных требований, то предельные вероятности существуют и очередь не может расти бесконечно. Если a≥1, то очередь растет до бесконечности. Итак, предполагаем что a<1.

Предельные вероятности состояний определяются по формулам: (6.16)

— вероятность того, что канал обслуживания свободен, т.е. система находится в состоянии ; (6.17)

— вероятность того, что канал занят, но очереди нет;

— вероятность того, что канал занят и очереди 1 требование и т.д.

— вероятность того, что СМО находится в состоянии

Среднее число требований в системе определяется по формуле:

(6.18)

Средняя длина очереди L_оч:

(6.19)

Среднее время пребывания в системе Т_сист:

(6.20)

Среднее время пребывания в очереди Т_оч:

(6.21)

Вероятность того, что канал занят

(6.22)

Пример: На АЗС с одной бензоколонкой прибывают на заправку автомобили с интенсивностью 24 машины в час, а среднее время заправки одного автомобиля составляет 2 минуты. Определить показатели эффективности работы АЗС.

Решение: n=1, l=24 автом/час, t=2мин. Находим величину Значения l и t имеют различную временную размерность, поэтому преобразуем одно из них.

l=24 автом/час=24 автом/60мин=0,4автом/мин.

Тогда, a=0,4×2=0,8.

Так как a<1, то очередь на заправку не может возрастать бесконечно и предельные вероятности существуют.

1. Вероятность того, что бензоколонка свободна находим по формуле (6.17): P₀=1–a=1–0,8=0,2.

2. Вероятность того, что бензоколонка занята заправкой автомобилей, находим по формуле (6.22): P_зан=a=0,8.

3. Среднее число автомобилей, ожидающих заправки, т.е. средняя длина очереди вычисляется по формуле (6.19):

4. Среднее время ожидания заправки вычисляется по формуле (6.21):

5. Среднее число автомобилей, находящихся на АЗС, вычисляется по формуле (6.18):

6. Среднее время пребывания автомобиля на АЗС вычисляется по формуле (6.20):

Из вычислений видно, что эффективность работы АЗС хорошая.