Многоканальная СМО с отказами

Рассмотрим систему с n каналами, на которые поступает поток требований с интенсивностью λ. Интенсивность обслуживания требований каждым каналом равна μ. Требуется найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности. Эта задача называется классической задачей Эрланга. Система S (СМО) имеет следующие состояния , , ,…, ,…, , где состояние системы, когда в ней находится k_i требований, так как k каналов заняты обслуживанием.

Граф состояний СМО имеет вид:

λ λ λ λ λ λ

μ 2 μ 3 μ kμ (k+1)μ nμ

Поток требований последовательно переводит СМО из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояний. Например, если СМО находится в состоянии S₂ (2 канала заняты), то она может прейти в состояние S₁ (1 канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность потока обслуживаний будет равна 2m.

Аналогично, суммарный поток обслуживаний, переводящих СМО из состояния в , будет иметь интенсивность 3μ, т.к. может освободиться любой из трех каналов, и т.д. Формулы для предельных вероятностей состояний имеют вид:

(6.11)

Формулы (6.11) называются формулами Эрланга.

(6.12)

вероятность отказа СМО, т.е. вероятность того, что все n каналов будут заняты. Относительная пропускная способность — это вероятность того, что требование будет обслужено:

Q (6.13)

Абсолютная пропускная способность:

A=λ×Q= (6.14)

Среднее число занятых каналов:

(6.15)

Запишем формулы (6.11) для двухканальной системы, т.е. когда n=2:

, (6.16)

Пример: В услових примера (см. подраздел 6.3) определить, как изменяются показатели эффективности работы стола заказов магазина, если вместо одного телефона будут работать два телефона.

Решение: a=4; n=2.

Импользуем формулы (6.16):

1.

P₀+P₁+P₂=1.

2. P_отк=P₂=0,615.

3. Q=1–P_отк=1–0,615=0,385 – относительная пропускная способность.

4. A=λ×Q=80×0,385=3,8»31 – абсолютная пропускная способность.

5. Среднее число занятых каналов

n=a×Q=4×0,385=1,54.

Из вычислений видно, что в среднем 7,7% времени оба телефона будут свободны, 30,8% времени занят обслуживанием будет один телефон и 61,5% будут заняты оба телефона. В среднем за час будет обслужена 31 заявка из 80 поступивших, т.е. абсолютная пропускная способность увеличилась почти в два раза, но все же не очень высокая. Потери поступающих заявок составляют 61,5%, а вероятность обслуживания составляет 38,5%. Из вышесказанного можно сделать вывод, что два телефона будут плохо справляться с потоком заявок. Но т.к. установка телефонов является дорогостоящим мероприятием, то, возможно, выход можно найти в уменьшении времени обслуживания заявок путем повышения квалификации работников стола заказов, или искать другое компромиссное решение.