Решение системы балансовых уравнений в матричной форме

Если соотношение (3.2) подставить в баланс продукции (3.1), то сразу получаем:

Это соотношение удобно записывать в матричной форме:

х=Ах+у, (3.3)

где х=(х₁,..., х_n), у=(у₁,..., у_n), А — матрица коэффициентов а_ij, i=1,..., n, j=1,..., n (матрица прямых затрат). Соотношение (3.3) принято называть балансом распределения продукции. Оно является основным соотношением в межотраслевых моделях.

Матрица А также называется технологической матрицей. Технологическая матрица — таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов (нормативов) прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении.

Один из методов подсчета коэффициентов прямых затрат — нормативный. В нем предполагается, что отрасли межотраслевого баланса имеют сложную структуру, т.е. состоят из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат. Если заранее знать, какую продукцию будут выпускать производства отрасли, то по нормативам затрат можно рассчитать среднеотраслевые коэффициенты прямых затрат.

Если коэффициенты прямых затрат подсчитаны, то соотношение (3.3) можно использовать для анализа и прогнозирования. Действительно, если задать конечный продукт в отраслевой структуре, то валовые выпуски отраслей согласно (3.3) определяются из соотношения:

(E–A)x=y,

где Е — единичная матрица. Следовательно,

x=(E–A)^–1y, (3.4)

где (Е–А)^–1 — матрица, обратная матрице (Е–А).

Таким образом, баланс продукции на основе коэффициентов прямых затрат дает возможность по конечному выпуску сразу определять выпуски продукции отраслями. Необходимо выяснить, существует ли обратная матрица, используемая в формуле (4), а также не получим ли мы когда-нибудь отрицательные значения валовых выпусков отраслей? Установим некоторые свойства коэффициентов прямых затрат. Во-первых, они неотрицательны, т.е.

a_ij³0, i=1,…, n, j=1,…, n. (3.5)

Это утверждение сразу следует из неотрицательности величин х_ij и положительности валовых выпусков отраслей х_j. Во-вторых,

(3.6)

Это утверждение можно получить следующим образом. Из соотношения

и требования

v_i>0, j=1,…, n,

т.е. положительности условно-чистой продукции во всех отраслях, следует неравенство:

(3.7)

Требование положительности условно-чистой продукции является естественным, поскольку одной из составляющих условно-чистой продукции является заработная плата. Поэтому условие (3.7) обычно выполняется. Из соотношений (3.7) и (3.2) получаем:

т.е. выполняется соотношение (3.6). В теории матриц доказывается, что при выполнении условий (3.5) и (3.6) матрица В=(Е–А)^–1 существует и ее элементы b_ij неотрицательны. Итак, получаем:

x=By. (3.8)