Затрат, прямых и полных затрат труда и капиталовложений

Матрица В носит название матрицы полных затрат, а ее коэффициенты b_ij — коэффициентов полных затрат. Коэффициенты полных материальных затрат — величины, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. Обозначаются как b_ij.

Можно проверить, что

B=E+A+A²+A³+… (3.9)

Действительно, если правую часть этого равенства мы умножим слева на (Е–А), то получим:

(E–A)+(E+A+A²+A³+…)= E+A+A²+A³+…–A–A²–A³–…=E.

Таким образом,

E+A+A²+A³+…=(E–A)^–1=B.

Из соотношения (3.9) следует, что

b_ij³a_ij (i=1,…, n, j=1,…, n),

т.е. что коэффициент полных затрат b_ij описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечной продукции j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых затрат, рассчитанного на выпуск единицы валовой продукции j-й отрасли.

Итак, знание матрицы полных затрат В дает возможность на основе соотношения (3.8) по конечному продукту определять валовые выпуски отраслей, а затем по валовым выпускам отраслей и матрице прямых затрат строить плановый межотраслевой баланс по формуле (3.2). Такая математическая модель дает возможность проводить вариантные расчеты межотраслевых балансов. Естественным образом возникает идея о том, чтобы выбрать наилучший межотраслевой баланс, т.е. решать оптимизационную задачу.

В реальной экономической системе валовые выпуски отраслей ограничены не только из-за ограничений по сырью, топливу и энергии, но и по другим причинам. Для правильной постановки задачи хотя бы главные из этих причин необходимо учесть. В производственной функции экономики ресурсами считаются основные фонды и трудовые ресурсы. В межотраслевой модели каждая отрасль описывается функцией затрат (3.2), в которой учитывается лишь производственное потребление промежуточного продукта. Включим эти ресурсы в описание отрасли. Для этого обычно используется производственная функция с постоянными пропорциями:

x_i£min{d¹_iK_i, d²_iL_i}, i=1,…, n, (3.10)

где К_i — количество основных фондов в i-й отрасли,

d_i¹ — коэффициент фондоотдачи в i-й отрасли,

L₁ — число работающих в i-й отрасли,

d_i² —производительность труда в i-й отрасли.

Ограничения по основным фондам часто записывают в несколько измененной форме:

x_i£x_i, i=1,…, n, (3.11)

где x_i=d¹_iK_i — мощность i-й отрасли, т.е. максимальное количество продукции, которое отрасль может выпустить при имеющемся в наличии количестве основных фондов и постоянной фондоотдаче.

Обычно в моделях балансового типа величина фондоотдачи считается заданной. Включение в модель соотношений (3.11) с фиксированными значениями х_i; означает, что мы считаем мощности отраслей неизменными. Поскольку мощности отраслей могут изменяться в процессах износа фондов, строительства новых предприятий и передачи фондов из одной отрасли в другую, то надо объяснить, в каких случаях эти процессы могут не учитываться. Строительство новых фондов занимает срок порядка нескольких лет, так что процесс строительства можно не рассматривать в достаточно краткосрочных исследованиях. Величина износа фондов достаточно мала, так что в первом приближении ее можно считать не зависящей от выпуска продукции в отрасли или не рассматривать вообще. Процессы передачи мощностей из одной отрасли в другую встречаются только в исключительных ситуациях, поэтому их можно не рассматривать.

Теперь перейдем к описанию использования трудовых ресурсов. Если передача основных мощностей из отрасли в отрасль обычно не встречается, то переход рабочих с предприятий одной отрасли на предприятия другой отрасли наблюдается постоянно. Поэтому формулировать ограничения по трудовым ресурсам для каждой отрасли в отдельности вряд ли разумно. В самом простом варианте можно записать общее ограничение по трудовым ресурсам:

(3.12)

где R — общее число рабочих. Соотношение (3.12) подразумевает полную занятость рабочих. Соотношение (3.10) дает неравенство:

x_i£d²_iL_i.

Кроме ограничений по основным фондам и трудовым ресурсам, на возможный выпуск продукции многими отраслями (скажем, нефтедобывающей) оказывает влияние ограниченность разведанных природных ископаемых, сельскохозяйственное производство ограничено площадью, пригодной для пахоты, и т.д. Сформулируем еще раз задачу выбора наилучшего плана валовых выпусков отраслей:

Необходимо найти такие неотрицательные варианты конечного продукта у и валовых выпусков отраслей х, чтобы на них достигался максимум критерия

U(c,y)®max

при выполнении условий

x=Ax+y,

x£x,

(x, d₂)£R.

Здесь ; величины A, x, d₂, R, с заданы заранее (с — отражает важность каждого продукта).

Сформулированная задача является задачей линейного программирования и может быть решена даже при больших размерах матрицы А.

Межотраслевые модели основываются на понятии межотраслевого баланса. Впервые межотраслевой баланс был разработан как составная часть баланса народного хозяйства СССР за 1923—1924гг. Заслуга разработки модели баланса, названной "затраты — выпуск" принадлежит Василию Леонтьеву. Модель Леонтьева — экономико-математическая модель межотраслевого баланса. В.В. Леонтьев — американский ученый, награжденный Нобелевской премией за вклад в экономическую науку. В середине 30-х годов XXвека он разработал и применил теорию балансовых моделей. Таблица Леонтьева "затраты — выпуск" была первым шагом к практическому использованию теории общего равновесия. Эта таблица впервые была опубликована в работе "Структура американской экономики в 1919—1929гг." В настоящее время межотраслевые балансы регулярно разрабатываются в большинстве стран мира. Межотраслевой баланс производства и использования товаров и услуг является одним из важных разделов современной системы национальных счетов.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Какова сущность балансового метода?

2. Что представляет собой межотраслевой баланс?

3. Объясните понятие "условно-чистая продукция". Почему оно вводится в межотраслевом балансе?

4. Какой продукт называется промежуточным и какой — конечным?

5. Что отражается в каждом их 4-х разделов межотраслевого баланса?

6. Какое основное равенство должно совмещаться в межотраслевом балансе?

7. Для каких целей предназначены матричные экономико-математические модели?

8. Что показывают коэффициенты прямых и полных затрат?

9. Используя балансовые соотношения между элементами таблицы, завершите составление баланса:

10. Используя отчетный баланс найдите матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А:

11. Используя данные отчетного баланса из задачи 2, найдите матрицу коэффициентов полных материальных затрат Р.

12. Используя отчетный баланс, найдите объемы конечной продукции Y₁ Y₂ по данным объемам валовой продукции X₁=200, Х₂=100.

13. Дана матрица коэффициентов прямых материальных затрат А н вектор - столбец объемов валовой продукции X. Найдите объемы конечной продукции Y, если , .

14. Известны матрица коэффициентов прямых затрат и вектор-столбец объемов конечной продукции . Найдите объемы валовой продукции X.

15. Выясните является ли продуктивной матрица А: .

16. Дана матрица коэффициентов прямых материальных затрат А и вектор объемов валовой продукции X. Определите промежуточную продукцию отраслей, если , .

17. По отчетному балансу найдите коэффициенты прямых, полных и косвенных затрат:

18. По отчетному балансу определить коэффициенты косвенных затрат I порядка:

19. Дана матрица коэффициентов прямых материальных затрат А и объемы валовой продукции X: , . Составьте таблицу отчетного баланса.

20. Данной матрице коэффициентов прямыхматериальных затрат А определите матрицу коэффициентов полных материальных затрат: .

глава 4. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

4.1 Модели линейного программирования

Раздел математики, изучающий методы решения экономических задач путем специальных приемов, носит название математического программирования. Здесь программирование заключается в определении допустимых программ, планов распределения, которые оптимальны с точки зрения некоторых критериев. Для решения конкретной экономической задачи необходимо, прежде всего, сформулировать ее математически.

Такая формулировка распадается на два этапа:

1) сначала представляется в виде некоторой зависимости от искомых величин преследуемая цель. Например, прибыль от реализации готовой продукции или затраты от выполнения определенного объема работ.

Получаемое выражение называется целевой функцией.

2) затем формулируются условия, которые должны быть наложены на искомые величины. Они вытекают, например, из наличия ресурсов или из условий технологии. Обычно эти условия представляют собой неравенства или уравнения. Система математически сформулированных условий, налагаемых на неизвестные, образует так называемую систему ограничений данной задачи.

Если целевая функция выражает положительный экономический фактор (например, прибыль), то ее максимизируют, в противном случае (когда критерием оптимальности являются издержки и затраты) — отыскивают минимум. Поэтому задача математически формулируется следующим образом: найти такие значения неизвестных, которые удовлетворяли бы системе ограничений и доставляли целевой функции максимум или минимум.

Совокупность численных значений неизвестных именуется планом задачи.

Любой план, удовлетворяющий системе ограничений, называется допустимым, а допустимый план, максимизирующий или минимизирующий целевую функцию, называется оптимальным.

Таким образом, решение задачи заключается в отыскании оптимального плана среди множества допустимых.

Если целевая функция и система ограничений линейны, т.е. неизвестные в первой степени относительно входящих в задачу неизвестных, то программирование считается линейным. Если же целевая функция или система ограничений содержит нелинейные выражения, программирование будет нелинейным. В экономике большее распространение получили задачи линейного программирования и решение их лучше разработано. Все экономические задачи в их математической записи имеют следующие общие свойства:

1) требуется отыскать максимум или минимум линейной функции искомых величин.

2) переменные должны удовлетворять ограничениям, заданным в виде линейных неравенств или уравнений, а так же условиям неотрицательности.

Сформулируем экономическую задачу, построим математическую модель для решения задачи и покажем, что данная задача относится к задачам линейного программирования.

Пример: Задача составления рациона.

При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 единиц питательного вещества S₁, не менее 8 единиц — S₂ и не менее 12 единиц — S₃, для составления рациона используют 2 вида корма. Стоимость 1кг первого вида 40 тенге, второго 60 тенге.

Содержание количеств единиц питательных веществ в одном кг корма первого вида составляет: S₁=3, S₂=1, S₃=1, второго вида: S₁=1, S₂=2, S₃=6.

Необходимо составить такой рацион нужной питательности, чтобы затраты на него были минимальными. Исходные данные сведены в таблицу 7.

Таблица 7

Построение модели начинается с обозначения неизвестных:

x₁— количество корма первого вида.

x₂— количество корма второго вида.

Цель исследования — обеспечить заданную питательность смеси при минимальных затратах на корма. Критерии задачи — минимальные затраты.

Известно, что стоимость единицы корма первого вида составляет 40 тенге, а количество этого корма x₁, следовательно, стоимость всего корма первого вида — 40x₁, аналогично для второго вида корма — 60x₂.

Учитывая, что стоимость смеси кормов первого и второго вида должна быть минимальной, критерии задачи будут иметь вид:

1. f(x) = 40х₁+60х₂®min — целевая функция.

Смесь должна содержать три питательных вещества это обстоятельство отражается в ограничениях:

2. 3х₁+х₂³9

х₁+2х₂³8 — система ограничений

х₁+6х₂³12

Первое неравенство записано из условия ограничения по питательным веществам S₁. Произведение 3х₁ — это количество питательного вещества S₁ в первом корме; 1х₂ — это количество питательного вещества во втором корме. Так как в рационе S₁ должно быть не менее 9 единиц питательного вещества S₁, то отсюда вытекает неравенство 3х₁+х₂³9.

Аналогично получаем 2 и 3 неравенства.

Таким образом, получилась система ограничений в виде неравенств.

Количество корма, используемое в рационе, должно быть величиной положительной или равной нулю (если определенный вид корма в рационе не используется). Следовательно, в модели должны присутствовать ограничения неотрицательности переменных.

3. x₁³0 — условия неотрицательности

x₂³0

Тогда, в целом задача составления рациона будет представлена моделью:

1. f(х)=40х₁+60х₂® min — целевая функция

2.

3х₁+х₂³9

х₁+2х₂³8 — система ограничений

х₁+6х₂³12

3. х₁³0

х₂³0 — условие неотрицательности

Особенность данной задачи состоит в том, что существует множество вариантов смешивания кормов первого и второго вида, т.е. наборов значений х₁ и х₂, удовлетворяющих ограничениям. Необходимо выбрать такой вариант смешивания, который обеспечивает минимальные затраты. Этот вариант будет оптимальным.

Следовательно, данная задача относится к задачам математического программирования, а поскольку функция f и ограничения задачи линейные, она является задачей линейного программирования.

Это задача представляет собой частный вид задач линейного программирования со смешанными ограничениями, которые содержат два или три вида ограничений (³,£,=) .