Рівняння Бернуллі. Інтегруючий множник.

В деяких випадках рівняння

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та дос­татньою умовою цього є рівність

,

або

.

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції . Задача ін­тегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад де - відома функція.

В цьому випадку одержуємо

Після підстановки в рівняння маємо

,

або

.

Розділимо змінні

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

.

Розглянемо частинні випадки.

1) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

.

2) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

3) Нехай .Тоді

І формула має вигляд

.

4) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

.

41. Однорідні і неоднорідні лінійні диференціальні рівняння
Лінійні неоднорідні рівняння.

Рівняння вигляду називається лінійним неоднорідним. Один із методів інтегрування лінійного рівняння - метод Бернулі. Загальний розв'язок шукають у вигляді добутку двох невідомих функцій та , тобто у вигляді . Звідси . Рівняння перетворюється до вигляду або .

Обираємо довільним чином одну функцію таку, яка перетворює на нуль вираз в квадратних дужках, тобто розв'язуємо рівняння з відокремлюваними змінними

(с=0, так як - будь-який частковий розв'язок останнього рівняння).

Вихідне рівняння після цього приймає вигляд або звідки - довільна стала.

- загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння.

А ОДНОРІДНЕ НА ТЕЛЕФОНІ