Скалярні і векторні величини. Вектор. Операції над векторами та їх властивості.

До скалярних величин, або скалярів (від лат. зсаіагіз — східчастий), належать довжина, площа, температура, густина, робота й багато інших. Ці величини характеризуються одним значенням, і для їх позначення зазвичай використовують літери латинського та грецького алфавітів (І, і, р, А тощо). Наприклад, маса тіла — скалярна величина, і якщо ми говоримо, що маса тіла дорівнює двом кілограмам (т = 2 кг), то повністю визначаємо цю величину. Для визначення векторних величин важливо знати не тільки їхні значення, але й напрямки.

Вектором називається направлений відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець якого співпадають.

Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.

Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або на паралельних прямих. Нульовий вектор колінеарний з будь-яким вектором.

Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, до якої вони паралельні. Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.

Вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково направлені і мають однакові модулі.

Усякі вектори можуть бути приведені до загального початку. Із означення рівності векторів випливає, що будь-який вектор має нескінченно багато рівних йому векторів.

Лінійними операціями над векторами називаються операції їх додавання та помноження на число.

Сумою векторів називається вектор c⃗ =a⃗ +b⃗ .

Додавання і віднімання векторів:

Добутком вектора a⃗ на число k називається вектор b⃗ =ka⃗ , b⃗ |=k|a⃗ |, при цьому a⃗ колінеарний b⃗ .

Вектор a⃗ однаково спрямований з вектором b⃗ (a⃗ ↑↑b⃗ ), якщо k>0.

Вектор a⃗ протилежно спрямований з вектором b⃗ (a⃗ ↑↓b⃗ ), якщо k<0.

Вектори мають такі властивості:

1. a⃗ +b⃗ =b⃗ +a⃗ (комутативність)

2. a⃗ +(b⃗ +c⃗ )=(a⃗ +b⃗ )+c⃗

3. a⃗ +0⃗ =a⃗

4. a⃗ +(−1)⋅a⃗ =0⃗

5. (αβ)a⃗ =α(βa⃗ ) (асоціативність)

6. (α+β)a⃗ =αa⃗ +βa⃗ (дистрибутивність)

7. α(a⃗ +b⃗ )=αa⃗ +αb⃗

8. 1⋅a⃗ =a⃗

34. Координати вектора. Прямокутна декартова система координат на площині та в просторі. Вектори в прямокутній декартовій системі координат.

Координатами вектора a називають числа a₁ = x₂ - x₁, a₂ = y₂ - y₁,
де A₁(x₁, y₁), A₂(x₂, y₂) - кінці вектора a.

Рівні вектори мають рівні відповідні координати.
Якщо у векторів координати рівні, то вектори рівні.

Декартова система координат задається початком координат і трьома векторами, які визначають напрям координатних осей. Кожна точка простору задається числами, які дорівнюють віддалі від даної точки до координатних площин.

Якщо вектор a, який знаходиться в прямокутній системі координат OXYZ, має початком точку A з координатами X_A, Y_A, Z_A, а кінцем – точку B з координатами X_B, Y_B, Z_B, то числа X_B - X_A, Y_B - Y_A, Z_B - Z_A називається його координатами: a( X_B - X_A; Y_B - Y_A; Z_B - Z_A).
Довжина (модуль) цього вектора:

Сумою векторів a(X_A; Y_A; Z_A) і b(X_B; Y_B; Z_B) називається вектор c(X_A + X_B; Y_A + Y_B; Z_A + Z_B).

Добутком вектора a(X_A; Y_A; Z_A) на число λ називається вектор λa(λX_A; λY_A; λZ_A).

Скалярним добутком векторів a та b, якщо відомі їх координати, є величина a•a = X_A•X_B + Y_A•Y_B + Z_A•Z_B.

Для кута φ між векторами a та b:

35. Скалярний векторний та мішаний добуток векторів та їх властивості. Рівняння прямої на площині. Взаємне розміщення двох прямих на площині. Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до площини.

Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів a і b.

Властивості скалярного добутку векторів

1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю:

a · a ≥ 0

2. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a = 0 <=> a = 0

3. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

a · a = |a|²

4. Операція скалярного добутку комутативна:

a · b = b · a

5. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операція скалярного добутку дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора a на векторний добуток векторів b іc.

Формула обрахунку мішаного добутку векторів

Мішаний добуток векторів дорівнює визначнику матриці, отриманої з цих векторів.

Мішаний добуток векторів a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} і c = {c_x; c_y; c_z} в декартовій системі координат можна обрахувати, скориставшись наступною формулою:

Властивості мішаного добутку векторів

· Геометричний зміст мішаного добутку.

Модуль мішаного добутку трьох векторів a, b і с дорівнює об'єму паралелепіпеда, утвореного цими векторами:

V_парал = a · [b × c]

· Геометричний зміст мішаного добутку.

Об'єм піраміди утвореної трьома векторами a, b і с дорівнює одній шостій частині від модуля мішаного добутку цих векторів:

· Якщо мішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори компланарні.

· a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)

· a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

· a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0

Векторним добутком векторів і називається вектор , який задовольняє наступним умовам:

1.

2.

3. утворюють праву трійку векторів (див. рисунок)

Позначається:

Властивості векторного добутку:

1. .

2. , якщо або , або .

3. .

4. .

5. , якщо .

6. Геометричний смисл векторного добутку полягає в тому, що його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і .