Критерії Коші збіжності ряду. Абсолютно та умовно збіжні ряди. Властивості абсолютно та умовно збіжних рядів.

Нам відомий критерій Коши з теорії границь, тобто необхідна й достатня умова збіжності послідовності, а саме: для того щоб послідовність була збіжною необхідно й достатньо, щоб вона була фундаментальна. Означення фундаментальності: для кожного 0 ε > існує номер (ε ) такий, що для будь-якого > й для кожного 0 > ( ) ∈ , виконане − < ε + . Ця умова є необхідною й достатньою умовою збіжності ряду, якщо під розуміти послідовність часткових сум цього ряду.

Теорема. (Критерій Коши для рядів) Для того, щоб ряд ∑ ∞ =1 був збіжним, необхідно й достатньо, щоб для кожного 0 ε > існував номер ( ) ε такий, що для будь-якого > й для кожного 0 > , ∈ було виконане ∑ < ε + = +1 . Доведення випливає із критерію Коши для послідовностей. Зауважимо, проте, що критерій Коши не дуже зручний у застосуванні. Однак існує дуже проста необхідна умова збіжності ряду. Теорема (необхідна умова збіжності ряду).

Якщо ряд ∑ ∞ =1 збігається, то lim = 0 →∞ .

Теорема (Достатня умова розбіжності). Якщо загальний член ряду не прямує до нуля, то ряд розбігається.

Тепер розглянемо який-небуть знакозмінний ряд

. (3)

Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (3)

. (4)

Теорема. Якщо ряд (4) збігається, то збігається і ряд (3),

при цьому ряд (3) називають абсолютно збіжним рядом.

Відмітимо, що із збіжності ряду (3) не випливає збіжність ряду (4). Наприклад, ряд збігається, а гармонійний ряд розбігається.

Ряд називають умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд розбігається.

В нашому прикладі ряд є умовно збіжним.

Слід відмітити, що поділ збіжних рядів на абсолютно і умовно збіжні досить суттєвий. Виявляється, що основні властивості скінченних сум переносять тільки на абсолютно збіжні ряди, тоді як умовно збіжні ряди деяких із цих властивостей не мають.

Нехай ряд має члени довільних знаків.