Поняття функції кількох змінних. Границя функції кількох змінних. Неперервність функції кількох змінних. Властивості функції кількох змінних.

Означення. Множина значень {x1,…,xn}, за яких вираз f(x1,…,xn) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f(x1,…,xn).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y2. Область визначення цієї функції - всі пари дійсних чисел (x;y).

2. Функція від чотирьох змінних y=2x1+3x2-x3+7x4.

3. Функція від трьох змінних V=V(a,b,c)=a×b×c. Об’єм паралелепіпеда є функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q=F(K,L). Обсяг випущеної продукції Q є функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K³0; L³0}.

Границі функції багатьох змінних. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, може, самої точки . Число А називається границею функції при , , якщо для будь-якої послідовності точок , таких що

, при і ≠ , послідовність , , збігається до числа А. У цьому разі пишуть

або при , .

Очевидно, якщо при , , то

де при , .

Неперервність функцій багатьох змінних. Функція , , називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності точок

такої, що , при , послідовність

.

Функція називається неперервною на множині G, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Частині похідні функції кількох змінних. Диференційованість функції декількох змінних в точці. Неперервність диференційованої функції. Існування частинних похідних диференційованої функції. Достатня умова диференційованої функції. Частинні похідні вищого порядку.

Нехай функція визначена в деякому околі точки . При фіксованому дістанемо функцію , яка залежить тільки від однієї змінної х, а при дістанемо функцію , яка залежить тільки від у. Похідна функції при називається частинною похідною по х функції у точці і позначається

,

а похідна функції при називається частинною похідною по у функції у точці і позначається

.

Достатня умова диференційовна функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки і нехай . Функція називається диференційовною в точці (англ. differentiable), якщо приріст можна представити у вигляді:

.

де:

— стала. При фіксованій A не залежить від ; але, при зміні , взагалі кажучи, A також змінюється,

при .

Лінійна функція (від ) називається диференціалом функції в точці і позначається , або, коротше .

Таким чином:

при ,

.

22. Екстремум функції кількох змінних. Найбільше та найменше значення функції кількох змінних.Максимум і мінімум функції називають її екстремумом. Точку, у якій функція досягає екстремуму, називають точкою екстремуму.

Екстремум функції трьох і більше змінних визначають аналогічно.

Необхідні умови екстремуму. У точці екстремуму диференційовної функції багатьох змінних її частинні похідні дорівнюють нулю, тобто

З цієї системи рівнянь знаходять стаціонарні точки.

Достатні умови екстремуму. Нехай – стаціонарна точка, тоді:

1) якщо то – максимум функції ;

2) якщо то – мінімум функції .

Для функцій трьох і більше змінних необхідні і достатні умови екстремуму аналогічні.Щоб знайти екстремум функції багатьох змінних, які пов’язані між собою одним або кількома рівняннями (число рівнянь має бути меншим за кількість змінних), застосовують метод невизначених множників Лагранжа і говорять про умовний екстремум.

23. Поняття числового ряду і його збіжність. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Найпростіші властивості збіжних рядів. Необхідна ознака збіжного ряду. Сума рядів та добуток ряду на число. Властивості операції над числовими рядами.

Числовий ряд — ряд, елементами якого є числа.

Нехай — деяка числова послідовність. Для кожного визначена скінченна сума

Дві числові послідовності та називаються числовим рядом і позначаються

Число називається n-тим членом, а число — n-тою частковою сумою ряду.

Якщо послідовність часткових сум збігається до деякого числа (див. Границя числової послідовності), то числовий ряд називається збіжним, а число — називається сумою цього ряду, і позначається

.

Якщо ж скінченної границі не існує, то числовий ряд називається розбіжним.

Одним з найпростіших прикладів рядів є геометрична прогресія.

Ряд вигляду (1)

називається геометричною прогресією, число q при цьому є знаменником прогресії.

Покажемо, що геометрична прогресія (1) збігається тоді і тільки тоді, коли її знаменник за модулем менше від одиниці:

. (2)

нехай Sn – п-а часткова сума ряду (1).

Важливим у теорії рядів є гармонічний ряд, так називають ряд

Покажемо, що гармонічний ряд розбіжний.

Для будь-якого натурального числа існує натуральне число таке, що і при . Нехай Sn – n–а часткова сума ряду. Тоді

Якщо , то іноді кажуть, що розбіжний ряд має нескінчену суму і записують Таким чином, ряд має нескінчену суму, що дорівнює , якщо a>0, або , якщо a<0.

Оскільки при , з доведеної нерівності випливає при , тобто гармонічний ряд розбіжний.Необхідна ознака збіжності ряду. Якщо ряд збіжний, то його п–й член прямує до нуля, тобто .

Якщо , то ряд розбігається.