Інтегрування деяких видів ірраціональностей

Інтеграли типу раціоналізуються підстановкою , де - найменше спільне кратне . Має бути . Дійсно,

,

де - натуральні числа. Таким чином, підінтегральна функція стала раціональною.

Окремі випадки:

а) , , ,

Інтеграл раціоналізується підстановкою , де - НСК ;

б) ,

Інтеграл раціоналізується підстановкою , де - НСК .

2. Інтеграли типу за допомогою підстановки зводяться до одного з інтегралів:

а) ;

б) ;

в) .

Поняття визначеного інтеграла і необхідна умова його існування. Класи інтегрованих функції. Властивості визначеного інтеграла. Криволініїна трапеція. Обчислення площи криволінійних трапеції.

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Основні властивості визначеного інтегралу

Властивість 1. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтегралу: якщо , то

. (3.1)

Доведення. .

Властивість 2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми декількох функцій рівний алгебраїчній сумі інтегралів від доданків

. (3.2)

Властивість 3. Якщо на відрізку де , функції і задовольняють умові , то .

Властивість 4. Якщо і - найменше і найбільше значення функції на відрізку і , то .

Властивість 5 (теорема про середнє). Якщо функція неперервна на відрізку , то на цьому відрізку знайдеться така точка , що справедлива рівність

. (3.5)

Доведення. Нех

Властивість 6. Для будь-яких чисел справедлива рівність

, (3.6)

якщо лише всі ці три інтеграли існують.

Нехай на відрізку [а;b] осі абсцис задано неперервну функцію у = f(x), яка на цьому відрізку набуває лише тільки невід’ємні значення. Фігуру, обмежену графіком функції у ==f(х), віссю абсцис та прямими х = а, х = b називають криволінійною трапецією (мал. 113). Її площу S можна знайти за допомогою визначеного інтеграла

Або границею функції: