Повне дослідження функції засобами диференціального числення (монотомність функції,опуклість,асимптоти).

Функція називається опуклою на проміжку, якщо її графік розташований нижче будь дотичної, проведеної до нього на даному проміжку, і навпаки, називається увігнутою, якщо її графік виявиться вище будь дотичній, проведеної до нього на даному проміжку .

Якщо у всіх точках інтервалу друга похідна функції неперервна і негативна, то функція опукла і навпаки, якщо друга похідна неперервна і позитивна, то функція увігнута .

Асимптоти графіка функції називається пряма лінія, володіє тим властивістю, що відстань від графіка до цієї прямої прагне до нулю при необмеженому віддаленні точки графіка від початку координат .

Розрізняють два типи асимптот: вертикальні і похилі.

До вертикальна асимптота належать прямі лінії, які володіють тим властивістю, що графік функції в їх околиці йде на нескінченність, то Тобто, виконується умова:. Очевидно, що тут задовольняється вимога зазначеного визначення: відстань від графіка кривої до прямої прагне до нуля, а сама крива при цьому йде на нескінченність. З такою поведінкою функцій ми стикалися в п. 11.1, коли мова йшла про розриви другого роду. Отже, в точках розриву другого роду функції мають вертикальні асимптоти, наприклад, в точці. Отже, визначення вертикальних асимптот функції збігається із знаходженням точок розриву другу роду.

Похилі асимптоти описуються загальним рівнянням прямої лінії на площині, тобто. Значить, на відміну від вертикальних асимптот, тут необхідно визначити числа і.

Отже, нехай крива має похилу асимптоту, тобто при точки кривої як завгодно близько підходять до прямої (рис. 4.1). Нехай - точка, розташована на кривої. Її відстань від асимптоти буде характеризуватися довжиною перпендикуляра . Згідно з визначенням,. Але обчислюється досить складно, набагато простіше знайти.

Поняття первісної. Теорема про множину всіх первісних. Невизначений інтеграл. Таблиця основних інтегралів і її обґрунтування. Властивості невизначеного інтеграла.

Теорема про множину первісних

Якщо F(x) – первісна для функції f(х) на проміжку І, то:

F(x)+С – також первісна для f(x) на проміжку І;

будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може біти представлена у вигляді Ф(х)=

F(x)+С на проміжку І. (Тут С=const називається довільною сталою).

Неви́значений інтегра́л для функції f — це сукупність усіх первісних цієї функції.