Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчисленнях. Диференціали вищих порядків.

Диференціал функції

Нехай функція має в даній точці скінченну похідну . Тоді , де , якщо .

Звідки

. Якщо - нескінченно малий приріст, то доданок є нескінченно малим вищого порядку, ніж доданок і якщо , то і -нескінченно малі одного порядку.

Означення Якщо функція має похідну в точці , то вираз називається диференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом . Тобто,

Застосування диференціала в наближених обчисленнях

Як уже зазначалось, приріст y функції у = f(х) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці: y dy. Під­ставивши сюди значення y і dy, дістанемо

(6)

Абсолютна похибка величини y — dy є при х 0 нескінченно малою вищого порядку, ніж x , тому що при f' (х) 0 величини y і dy еквівалентні (гл, 4, п. 4.3):

Оцінка (точність) формули (6) при фіксованих значеннях х та Дя з'ясована в п. 5.2.

Іноді користуються наближеною рівністю

f(х + х) f(х). (7)

Якщо функція у = f (х) дифереAнційовна в точці х, то абсолютна по­хибка формули (7) наближено дорівнює абсолютній величині ди­ференціала:

Відносна похибка формули (7) визначається за формулою

Диференціали вищих порядків. Нехай функція диференційовна на проміжку X. Її диференціал

називається також диференціалом першого порядку і його можна розглядати як функцію змінної x(приріст аргументу вважається сталим).

Означення 3.4. Диференціалом другого порядку (second differential) функції в точці xназивається диференціал від її диференціала першого порядку (за умови, що повторний приріст незалежної змінної x збігається з попереднім ) і позначається :

За означенням маємо

,

позначають . Таким чином

Аналогічно, диференціалом n-го порядку (позначається ), n=2,3,... називається диференціал від диференціала порядку за умови, що в диференціалах весь час беруться одні й ті самі прирости незалежної змінної x. Тобто

При цьому справедлива формула:

.