Неперервність функції. Дії над неперервними функціями.

Означення Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

, або

Спираючись на теореми про границі і на означення неперервності легко переконатися в такому.

Теорема. Сума, різниця, добуток і частка від ділення двох неперервних функцій також неперервна (для частки – за винятком тих значень аргументів, що перетворюють на нуль знаменник), тобто, якщо і неперервні в точці , то в цій точці будуть неперервними і функції

Неперервність складної функції, неперервність оберненої функції. Сформулюємо відповідні теореми для функції однієї змінної.

Нехай - деяка функція аргументу , а - деяка функція аргументу , при цьому область означення першої функції має спільну частину з областю значень другої функції. За цих умов на тій частині області значення функції , яка відповідає , буде означена складна функція .

Теорема. Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , то й функція неперервна в точці .

Враховуючи можливість поширення доведеного твердження на будь-яке (означене) число накладання функціональних залежностей, можна сформулювати теорему.

Теорема. Якщо накладання будь-якого (означеного) числа неперервних функціональних залежностей приводить до складної функції, то вона буде неперервною функцією основного аргументу.

Сформулюємо теорему, яка дає достатні умови існування та неперервності оберненої функції.

Теорема. Якщо функція визначена на відрізку і є на цьому відрізку неперервною і зростаючою (спадною), то для цієї функції на відрізку існує обернена функція , яка на відрізку є також неперервною і зростаючою (спадною).

Означення. Функція називається неперервною в точці зліва (справа), якщо виконуються умови:

1) визначена в точці (існує число );

2) в точці існує лівостороння (правостороння) границя функції;

3) лівостороння (правостороння) границя функції дорівнює значенню функції в точці , або

,

.

Означення похідної. Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції. Основні правила диференціювання функцій. Похідна показниково-степеневої функції. Похідна вищих порядків.

Похідною функції f(x) у точці х₀ називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х₀ до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначаєтьсяf'(x₀).

Теорема.Якщо функція диференційована в деякій точці , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Якщо функція диференційована в деякій точці , то згідно з означенням похідної при існує

.

В силу того, що границя змінної величини відрізняється від самої змінної на нескінченно малу величину , то маємо:

. (7)

Оскільки – постійна, то з властивостей нескінченно малих величин випливає, що обидва доданки в правій частині є нескінченно малі величини. Із (7) випливає, що . Тобто функція неперервна.

Наслідок. З наведеної теореми випливає, що неперервність функції є лише необхідною умовою диференційованості функції. Це означає, що в точках розриву функція не має похідних, тобто вона недиференційована.

Неперервна функція може бути недиференційована.

Теорема Якщо функції і мають похідні в точці x, то справедливі формули для похідних суми, добутку та частки цих функцій:

1)

2)

3) , при

Похідна показникової функції

Вивчаючи показникову функцію, ми переконалися в тому, що графіки показникових функцій зображувалися у вигляді гладких кривих (без зламів), до яких у кожній точці можна провести дотичну. Відомо також, що існування дотичної до графіка функції в точці рівносильне її диферен-ційовності у цій точці. У вищій математиці доведено,, що показникова функція диференційовна у кожній її точці, і похідну показникової функції за основою е обчислюють дуже просто, а саме:

Для цього слід піднести до степеня х обидві частини рівності (3). За допомогою формули (4), застосовуючи правило обчислення похідної складеної функції, дістанемо формулу для похідної будь-якої показникової функції для будь-якого показника х:

Під похідною вищих порядків розуміють диференціювання функції більше ніж один раз. Якщо похідну повторно диференціювати, то одержимо похідну другого порядку, або другу похідну функції , і вона позначається