Число A називається границею функції f(x) в точці x0 якщо для довільної послідовності {xn} що збігається до числа x0 відповідна послідовність значеннь функції {f(xn)}збіжна і має границею одне і теж саме число A
Границя послідовності
Означення. Число а називається границею послідовності 
, якщо для кожного як завгодно малого додатного числа 
знайдеться таке натуральне число 
, що при всіх 
виконується нерівність: 
.
Той факт, що число а є границею послідовності записується у вигляді:
, або 
, якщо 
.
Зауважимо, що нерівність рівносильна нерівностям:
, або 
.
Це означає, що число 
належить інтервалу 
). Такий інтервал називається 
- околом точки а.
Теореми про границі функцій. Властивості границь
1) Якщо функції f(x) і g(x) мають границі при x, який прямує до a, то функції f(x)±g(x), f(x)×g(x), f(x)g(x) також мають границі при x, який прямує до a і
limx→a((f(x)±g(x))=limx→af(x)±limx→ag(x),
limx→a((f(x)×g(x))=limx→af(x)×limx→ag(x),
limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x).
В останньому випадку припускається, що функція g(x) не перетворюється в нуль в досить малому околі точки a і
limx→ag(x)≠0.
2) Якщо при x, що прямує до a, функція f(x) має границю, рівну A, і ця границя більше числа c, то для достятньо близьких до a значень x функція f(x) задовільняє нерівність f(x)>c.
