Экстенсиональность и атомистичность

бое суждение, частью которого является суждение р, его истинностное значение не изменится, если мы подставим на место p любое другое суждение q, имеющее то же истинностное значение, что и р.

Мы переходим теперь к «пропозициональным функциям». «Пропозициональной функцией» является выражение, содержащее одну или более из неопределенных конституент х, у,., такое, что если мы установим, чем они должны быть, то в результате получим суждение. Так, «х — человек» является пропозициональной функцией, поскольку если мы определимся со значением х, то в результате получим суждение — истинное, если определим, что х должен быть Сократом или Платоном, ложное, если х должен быть Цербером или Пегасом. Значения, для которых суждение будет истинным, образуют класс людей. Каждая пропозициональная функция определяет класс, а именно класс значений переменной, для которых она истинна.

Говорят, что две пропозициональные функции «формально эквивалентны», если для каждого возможного значения переменной полученные суждения будут эквивалентны. Так «х — человек» и «х — двуногое без перьев» формально эквивалентны; таковы же функции «х — четное простое число» и «х — кубический корень из 8». Когда две пропозициональные функции формально эквивалентны, они определяют один и тот же класс.

Предикаты можно отождествить с пропозициональными функциями одной переменной, бинарные отношения с функциями двух переменных, тернарные отношения с функциями трех переменных и так далее. Когда мы говорим «люди смертны», это означает «если х — человек, х — смертен для всех возможных значений х». Очевидно, что если люди смертны, то смертны и двуногие без перьев. Также очевидно, что если существует π людей, то существует π двуногих без перьев. Эти суждения иллюстрируют тот факт, что если две пропозициональные функции являются формально эквивалентными, огромное число высказываний, истинных для одной, будут также истинными для другой. Вторая часть принципа экстенсиональности гласит, что это всегда име-