Экстенсиональность и атомистичность

логики, она касается всего того, что может быть сказано о суждениях с помощью «или» и «нет». Так, высказывание «р и q» является отрицанием высказывания «не-р или не-g». Наиболее общее отношение между p и q, которое позволяет нам при данном p вывести g, это отношение «не-р или g». Или предположим, что вы желаете установить наиболее общее отношение, которое, при данных p и g, позволило бы вам вывести г. Таким отношением будет «не-р или не-ç или г». Закон исключенного третьего формулируется как «р или не-р»; закон непротиворечия — как отрицание высказывания «р и не-р». Если два суждения эквивалентны, говорят, что они имеют одно и то же «истинностное значение».

Вместо того чтобы начинать с «не-р» и «р или g», мы можем начать с единственной неопределенной функции «р и g не являются оба истинными». Мы обозначаем данную функцию как «p|q» и называем ее штрих-функцией. Очевидно, что «р|р» эквивалентно «не-р», поскольку еслир ир не являются оба истинными, значит р — не истинно, и наоборот. Далее: «р или g» эквивалентно «не-р и не-g не являются оба истинными», т. е. эквивалентно «р|р и д|д не являются оба истинными», т. е. «(р|р)|(д|д)»· Таким образом, «или» и «нет» могут быть определены в терминах штрих-функции.

Очевидно и легко доказуемо, что для любого суждения, построенного из других суждений с помощью штриха, его истинностное значение зависит только от истинностных значений конституент. Это следует из того факта, что «р и с не являются оба истинными» является истинным, если р — ложно, а также если g — ложно, и является ложным, если оба р и g — истинны; что представляют собой суждения р и g — не имеет значения, коль скоро их истинностные значения остаются неизменными. Функции, для которых сказанное имеет место, называются «функциями истинности». Все функции, необходимые для теории дедукции, являются функциями истинности.

Первая часть принципа экстенсиональности, истинность или ложность которого мы исследуем, говорит, что все функции суждений являются функциями истинности, т. е. что если дано лю-