Значимость предложений

Обратимся теперь к другой иллюстрации, которая продемонстрирует необходимость различения свойств, включающих переменные предикаты, и тех свойств, которые их не включают. Пусть нашей иллюстрацией будет фраза «Пит был типичным англичанином». Мы можем определить член класса как «типичный», если он обладает всеми теми предикатами, которыми обладает большинство членов класса. Таким образом, мы говорим, что Пит обладал каждым предикатом R₁, который таков, что число х-ов, для которых «R₁(x) их — английский» является истинным, превосходит число тех, для которых истинно «не-R₁(x) их — английский». Все это очень хорошо, но если вместо «предиката» мы бы использовали общее слово «свойство», мы бы обнаружили, что не может быть никакого типичного англичанина, поскольку большинство англичан обладают некоторым свойством, которым большинство англичан не обладают, например, ростом от 5 футов 10 дюймов до 5 футов 11 дюймов или другим аналогичным свойством. Другими словами, нетипично быть типичным. Данный пример показывает, чем мы рискуем, если пытаемся говорить о «всех возможных высказываниях об а».

Мы избежим проблем, если будем считать переменную φ, подобно переменной р, просто удобным сокращением для других переменных. Суждениями, в которые входит а, будут:

(1) R₁(а), R₂(а,b), R₃(а, b, с) и т. д.

(2) Соединения названных суждений с одним или более суждений, принадлежащих к атомистической иерархии.

(3) Обобщения суждений из (2), при условии, что α не замещается переменной.

Таким образом, предложение «/(φα) — истинна для каждого φ» будет утверждать, что:

(а) R₁₍(a), R₁(a, b) и т. д. истинны для всех возможных значений R_1,(b), и т. д.

(б) Аналогично в отношении таких высказываний, как R₁(a) | R₁(b), и т. д.

(в) Обобщения (б), которые окажутся просто повторением (б). 224