Однако мы нуждаемся с самого начала для математической логики в ином сорте переменных, а именно в переменных суждениях. Мы хотели бы иметь возможность сформулировать закон непротиворечия и закон исключенного третьего, т. е. сказать, что «ни одно суждение не может быть одновременно истинным и ложным» и «каждое суждение либо истинно, либо ложно». Это значит сказать, что «каждое предложение формы "ложно, что p одновременно истинно и ложно" — истинно» и «каждое предложение формы "р — либо истинно, либо ложно" — истинно». В этих случаях условия значимости требуют, чтобы «р» было предложением (или суждением), но, prima facie, не содержит каких-то других ограничений на «р». Беспокойство вызывает то, что мы, кажется, имеем заданные предложения, которые указывают на все предложения, и, значит, также на самих себя.
В более общем виде, если f(р) — пропозициональная функция от пропозициональной переменной р, тогда выражение «каждое суждение формы f(p) — истинно», если оно допускается, также является суждением. В таком случае является ли оно возможным значением переменной p в «f(р)»? Если да, тогда в целую совокупность значений переменной р включаются значения, определенные в терминах этой совокупности. Из этого следует, что любое собрание суждений, рассматриваемое в качестве целой совокупности значений р, следует признать неправильным, поскольку существует другое значение р, определенное в терминах данной совокупности, а оно изменяется вместе с изменением совокупности. Ситуация аналогична той, с которой столкнулся Журденовский китайский император в истории с набором ящиков1. Этот император попытался разместить все наборы ящиков в одной комнате. Наконец он, как полагал, достиг желаемого. Однако его премьер-министр обратил внимание на то, что сама комната образует новый набор ящиков. И хотя император отрубил премьеру голову, он уже никогда больше не улыбался.
Таким образом, переменные суждения создают трудности, которые приходят в голову в связи с парадоксом лжеца1. Я предпола-
1 Имеется в виду пьеса Мольера «Мещанин во дворянстве». — Прим. перев. 220
Значимость предложений
таю, что переменные суждения только тогда законны, когда они являются сокращением именных переменных и переменных отношений. Пусть «р» — переменная, которая может стоять на месте любого предложения, построенного с помощью трех наших правил подстановки, соединения и обобщения. Тогда мы можем сказать, что «каждое предложение формы f(р) истинно» — это не одно новое предложение, а конъюнкция бесконечного числа предложений, переменные которых не являются предложениями.
С этой целью переходим к дальнейшим пояснениям. Прежде всего интерпретируем высказывание, что если «р» — атомарное предложение, тогда «f(р)» — истинно. В другой, эквивалентной формулировке: какие бы возможные значения ни принимали R^ и x1,f{R1 (х1)}является для этих значений истинной; какие бы возможные значения ни принимали R2, хги x?,f{R2 (хг, х2)} является для этих значений истинной, и т. д. Здесь единственными переменными являются переменные х-ов и Я-ов.
А теперь переходим к случаю, когда «р» — молекулярное предложение. Будем утверждать, что для всех возможных значений х-
OB,y-OB, R и S
f{5(x1,x2...xm)|S(y1,y2...yn)}
является истинным; и мы перейдем к похожим утверждениям, когда аргумент для f содержит необязательно один штрих, но любое конечное их число. Таким образом, мы проинтерпретировали утверждение, что «f(р)» — истинно, когда «р» — произвольное молекулярное суждение.
Наконец, мы позволяем «р» быть любым предложением, полученным из любого ранее указанного значения «р» путем обобщения.
Итак, мы получили интерпретацию выражения «"f(р)" — всегда истинно, когда р — предложение из атомистической иерархии». Указанная интерпретация, однако, применима не к одному предложению, а ко многим. Если «f(р)» таково, что когда «р» принадлежит к атомистической иерархии, к ней принадлежит и «f(р)»/ тогда все это множество предложений принадлежит к этой же ато-
