Значимость предложений

Важный вопрос — может ли данная иерархия конституировать «адекватный» язык, т. е. такой, в который было бы переводимо любое высказывание любого языка. Этот вопрос состоит из двух частей: первая — можем ли мы удовлетвориться атомарными предложениями как базисом языковой структуры? вторая — можем ли мы удовлетвориться именами, предикатами, бинарными отношениями и т. д. как единственными нашими переменными или же нам понадобятся переменные других видов? Первый из этих вопросов будет обсуждаться в главах XIX и XXIV. Второй, связанный с обобщением и нужный при решении парадоксов, необходимо обсудить сейчас.

Обобщение порождает намного больше трудных проблем, чем подстановка и соединение. Главный вопрос, который должен быть обсужден в этой главе, таков: достаточно ли для математической логики обобщения, определенного так, как это сделано выше? Или же мы нуждаемся в переменных тех видов, которые неопределимы приведенными выше способами?

Прежде всего заметим, что если «каждое предложение формы /(х) является истинным» или «некоторое такое предложение является истинным», должно иметь какую-либо определенную значимость, то область значений «х» должна быть вполне определенной. Если мы имеем какую-либо внешнюю область значений, таких как люди или натуральные числа, это следует оговорить. Так, «Все люди — смертны» не может быть проинтерпретировано как «Все предложения формы «"х — смертен" являются истинными, где возможная область значений х — люди», поскольку данное выражение невыводимо из одной только функции «х — смертен»¹. Единственный путь, которым «все предложения формы "/(х)" — истинны» может быть выведено из этой функции, это позволить х принимать все значения, при которых «/(х)» является значимой. Настолько, насколько мы ограничиваем себя именами и отношениями в качестве переменных, правило подстановки обеспечивает то, что нужно в этом случае.

¹ В главе XVIII мы разработаем теорию общих мнений, которая могла бы показаться противоречащей тому, что сказано выше. Но противоречие только кажущееся, поскольку здесь, в отличие от главы XVIII, наши проблемы являются исключительно синтаксическими.