Задача 1.

Знайти , якщо .

Порада: Згадайте властивості логарифмів.

Підказка: Перетворіть праву частину заданої рівності.

Консультація: Спочатку перетворимо праву частину заданої рівності:

звідси .

Відповідь. .

Задача 2. Який висновок можна зробити щодо додатних чисел m і n, якщо .

Порада: Згадайте властивості логарифма.

Підказка: Згадайте логарифмічну одиницю.

Консультація:

Відповідь. .

Задача 3. Знайдіть значення виразу .

Порада: Згадайте властивості логарифма.

Підказка: Згадайте чому дорівнює логарифм степеня.

Консультація: Користуючись основними властивостями логарифмів і властивостями степенів, запишемо вираз у вигляді:

Відповідь.46.

Задача 4. Розв’яжіть рівняння .

Порада: Згадайте означення логарифма.

Підказка: Згадайте які обмеження має основа логарифма.

Консультація: В цьому випадку система обмежень на шукані розв’язки має вигляд тоді .

За означенням логарифма дане рівняння можна подати так:

, або , тоді , , звідки , .

Серед знайдених розв’язків умову на шукані розв’язки задовольняє лише , яке і є єдиним розв’язком цього рівняння.

Відповідь. .

Задача 5. Побудуйте графік функції .

Порада: Згадайте означення дробової частини.

Підказка: Скористайтеся означенням дробової частини та означенням логарифма.

Консультація: Використаємо означення дробової частини числа:

Проаналізуємо таку функцію:

…	…	…
	-2
	-1
…	…	…

Здобуті результати зобразимо на рисунку, який лежить у смузі між прямими і .

Рис.2.2

Задача 6. Побудуйте графік функції .

Порада: Згадайте властивості деяких елементарних функцій.

Підказка: Знайдіть область визначення функції та згадайте означення модуля.

Консультація: Знайдемо область визначення функції:

Графік функції зображено на малюнку.

Задача 7. Доведіть, що якщо утворюють арифметичну прогресію, то .

Рис.2.3

Порада: Згадайте формулу переходу логарифма до іншої основи.

Підказка: Використайте означення арифметичної прогресії та скористайтеся формулою переходу логарифма до іншої основи.

Консультація: Використаємо означення арифметичної прогресії

,

або, використовуючи формулу переходу до іншої основи,

що й треба було довести.

Задача 8. На координатній площині XOY зобразіть множину точок M( ), координати яких задовольняють умову: .

Порада: Згадайте означення логарифма.

Підказка: Знайдіть ОДЗ і знайдіть сукупність систем, що рівносильна даній нерівності.

Консультація: ОДЗ:

Множину точок, які задовольняють ОДЗ зобразимо на рисунку зліва.

Рис.2.4

Тоді нерівність рівносильна сукупності систем нерівностей.

Шукана множина точок заштрихована на рисунку справа.

Задача 9. Доведіть нерівність при , .

Порада: Згадайте властивості логарифмів. Рис.2.5

Підказка: Скористайтеся властивостями степеня та властивостями логарифма.

Консультація:

Рівність досягається при .

Задача 10. Порівняйте і .

Порада: Згадайте формулу переходу логарифму до нової основи.

Підказка: Застосуйте до виразу формулу переходу до нової основи та нерівність Коші.

Консультація: Розглянемо вираз . Застосувавши формулу переходу до нової основи та нерівності Коші для двох додатних чисел , дістанемо:

.

Отже, , звідки випливає, що , тобто .

Відповідь. .