Означення та властивості нескінченно малих послідовностей.

Послідовність буде нескінченно малою,якщо x→∞значення послідовності →0.Алгебраїчна сума кількох членів нескінченно малої послідовності також буде нескінчено малоювеличиною.Добуток нескінченно малої велечини на обмежену послідовність теж буде нескінченно мала.

53. Для того щоб послідовність мала {хn} границю необхідно і достатньо щоб цю послідовність можна було подати у вигляді суми сталої і нескінченно малої послідовностей хn=а+αn.

Основні властивості границь послідовностей:

1. Границя сталої послідовності = самій сталій

2. Границя алгебраїчної суми скінченнго числа послідовностей, які сходяться, = сумі їх границь

3. Границя добутку = добутку границь

4. Границя натурального степеня = степеню границь

5. Границя частки = частці границь при умові що границя дільника ≠0.

54. Теорема про границю частки многочленів. Розкриття невизначеності типу .

При знаходженні границі частки многочленів границя може бути знайдена (якщо вона існує) і в тому випадку коли одна із границь=0 абобезкінечності.Розкриття неозначеності для того щоб розкрити неозначеність треба чисельник і знаменник поділити на зміну у найвищій степені.Якщо маєм неозначеність яка в чисельнику чи знаменнику містить різницю чи суму кВ.коренів треба чисельник і знаменник домножити на справжній вираз.

55. Розкриття невизначеності типу при знаходженні границі частки многочленів.

.При знаходжені границі й частки може одержатись означеність .Щоб розкрити неозначеність треба чисельник і знаменник розкласти на множники і зкоротити множник який прямує до 0,якщо ця неозначеність містить різницю з квадратними коренями то чисельник і знаменник доножається на суму цих виразів.

56. Відшукання вертикальних та похилих асимптот функції

ВЕРТИКАЛЬНІ АСИМПТОТИ

Графік функції при має вертикальну асимптоту,якщо границя функції нескінченна

Крім цьому точка є точкою розриву II роду, а рівняння вертикальної асимптоти має вигляд

ГОРИЗОНТАЛЬНІ АСИМПТОТИ

Крива має горизонтальну асимптоту тільки в тому випадку, коли існує скінченна границя функції при та , і ця границя рівна або Знаходження границь в деяких випадках спрощується, якщо застосовувати правило Лопіталя.

57. Означення та геометричний зміст похідної.

Число «а» називається границею ф-ції y(x) при х->нескінченності, якщо для любого чиcло e>0 можна вказати n₀>0 таке, що при всіх х з нерівності |x|> n₀випливає |f(x)-a|<e Записується так :

Lim х->нескінченності f(x)=a

Похідної функції y=f(x) називається границя приросту функції до приросту аргумента, при умові, що приріст аргумента прямує до 0

F(x)`= Lim х->0 дельта Y / на дельта X

Геометричний зміст похідної такий, що значення похідної ф-ції в даній т-ці= кутовому коефіцієнту дотичної до гр..ф. в цій точці.

F(x₀)= tg кута альфа, де альфа – кут нахилу дотичної з додатнім напрямом вісі ОХ.

58. Означення та фізичний зміст похідної.

Значення прискорення дорівнює значенню похідної від швидкості a(t) = V`(t).

Якщо точка рухається прямолінійно, то її миттєва швидкість в будь який момент часу t= похідній від ф-ції шляху V(t) = S`(t)

Друга похідна від ф-ції шляху відповідає за швидкість зміни швидкості, тобто за прискорення матеріальної точки a(t)= S``(t)

59. Таблиця похідних

60. Похідні вищих порядків. Означення та приклад.

Нехай ф-ція f(x) диференційована на деякому проміжку, то її похідна є також функцією змінної х, то похідна від похідної називається другою похідною

61. Відшукання проміжків монотонності та точок екстремуму функції.

Ф-ція зростає на проміжку де похідна>0 f`(x)>0 і спадає на проміжку f`(x)<0 .

Якщо похідна в т-ці х₀змінює знак з «–» на «+» то в цій т-ці ф-ція має мінімум

F`(x₀) - y + / x₀Ymin F`(x) = 0 – знаходження т-ок мах, мін

Якщо в т-ці x₀похідна змінює знак з «- на +» то в цій т-ці ф-ція має максимум.

62. Відшукання проміжків опуклості та точок перегину функції.

Для знаходження проміжків опуклості та точок перегину знаходимо ІІ похідну і y``=0 – т-ки перегину, якщо >0, то ф-ція вигнута вгору, якщо в т-ці x₀ y`` - знаку не міняє, то т-ки перегину немає.

63. Рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в точці х_0.

Р-ня дотичної до гр.ф в т-ці x₀

Y=f(x₀) + f(x₀) * (x- x₀)