316.Даны натуральное число n, символы s1,… , sn. Будем рассматривать слова, образованные символами, входящими в последовательность s1, …, sn (см. задачу 269), считая при этом, что количество символов в каждом слове не превосходит 15.
а) Найти какое-нибудь слово, оканчивающееся буквой д (если таких слов нет, то сообщить об этом).
б) Найти какое-нибудь слово, начинающееся буквой а и оканчивающееся буквой я (если таких слов нет, то сообщить об этом).
в) Удалить из s1,…, sn все слова с нечетными порядковыми номерами и перевернуть все слова с четными номерами. Например, если n = 21 и данная последовательность символов представляет собой последовательность
во_что_бы_то_ни_стало,
то должна получиться последовательность
отч_от_олатс.
г) Удалить из s1,… , sn все слова, в которых встречается не более двух различных букв.
д) Удалить из s1, …, sn все слова, оканчивающиеся группой букв
кая или кое.
§10. Вложенные циклы
317.Даны действительные числа a1,…, a10. Вычислить
1 2
a + a2+
¼ + a10 .
318.
Дано натуральное число n. Получить f0f1 … fn, где
fi =
1 +
i2+1
i2+ 2
+ … +
1 .
i2+ i +1
319.
Даны действительные числа a1,… , a24. Получить последовательность b1, …, b10, где b1 = a1+a2+ … +a24, b2 = a12 + a22 +
24 10 1
… + a 2,… , b = a 10
+ a210
+ … + a 10.
10 15
320.Вычислить)k 3 )(k - l)2.
k =1
l =1
321.Даны натуральные числа m, n, действительные числа a1, a2,
322.Найти натуральное число от 1 до 10 000 с максимальной суммой делителей.
323.Дано натуральное число n. Получить все натуральные числа, меньшие n и взаимно простые с ним.
324.Даны целые числа p и q. Получить все делители числа q,
взаимно простые с p.
325.Дано натуральное число n. Получить все простые делители этого числа.
326.Найти наименьшее натуральное число n, представимое двумя различными способами в виде суммы кубов двух натуральных чисел x3+y3(x ³ y).
327.Даны натуральные числа a, b (a £ b). Получить все простые числа p, удовлетворяющие неравенствам a £ p £ b.
328.Найти 100 первых простых чисел.
329.Даны натуральные числа n, m. Получить все меньшие n
натуральные числа, квадрат суммы цифр которых равен m.
330.Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. Число 6 – совершенное, так как 6 = 1+2+3. Число 8 – не совершенное, так как 8 ¹ 1+2+4.Дано натуральное число n. Получить все совершенные числа, меньшие n.
331.Дано натуральное число n. Можно ли представить его в виде суммы трех квадратов натуральных чисел? Если можно, то
а) указать тройку x, y, z
n = x2+ y2+ z2,
таких натуральных чисел, что
б) указать все тройки
n = x2+ y2+ z2.
x, y, z такихнатуральныхчисел, что
332.Известно, что любое натуральное число можно представить в виде суммы не более чем четырех квадратов натуральных чисел или, что то же самое, в виде суммы четырех квадратов неотрицательных
целых чисел (теорема Лагранжа). Дано натуральное n; указать такие
неотрицательные
x, y, z,t , что
n = x2+ y2+ z2+ t 2 .
333.Даны натуральные числа m, n1, ... ,nm
(m ³ 2).Вычислить
НОД(n, ..., nm ) , воспользовавшись для этого соотношением НОД(n, ..., nk) = НОД(НОД(n, ..., nk-1)nk)(k = 3, …, n)и алгоритмом Евклида (см. задачу 89).
334.Вычислить
100 50 1
2 ))
100 60
а) ))
; б) sin (i3 +
j 4 );
i=1
j=1
i + j
i = 1 j = 1
1 100 i
в) ) )
j - i + ;
г) ) ) 1
i = 1 j = 1
i + j
i = 1
j = 1 2 j + i
335.Дано натуральное число n. Вычислить:
n
а) )
k = 1
n
k (k + 1) ... k 2 ;
n
б) ) k k ;
k =1
n
!
k
в) )
k = 1
(k 2 ) ;
г) ) (- 1) (2k 2
k = 1
+ 1)!
336.Даны натуральное число n, действительное число x.
Вычислить:
n (2i ) ! + x
1n
k x k
а) )
i = 1
(i 2 )!
; б)
)
n!k = 1
(-1)(k ! +
1)! ;
n n n
в) )
k = 1
k k x 2k; г) ) )
k = 1 m = k
x + k .
m
337.Даны действительные числа a, b … (a <
b) , натуральное
число n , функция
y = f (x) определенная на отрезке [ a, b ]. Вывести
на печатающее устройство график функции. Для построения графика
вычислить значения функции
yi =
f (xi ), где
xi = a + ih,
i = 0, 1, .... , n,
h = (b - a)/n ,
Ось Ox расположить вертикально, ось Oy - горизонтально. Шаг по оси Ox – это переход на новую строку, шаг по оси Oy –позиция следующего символа в текущей строке. Точки графика изображать символом *.
Рассмотреть следующие функции:
а) y =
sin x
+ cos x ,
a = 0,
b = π,
n = 40 ;
б) y = 2 sin x + 3 cos x,
a = - π,
b = π,
n = 50 ;
в) y =
x4+ 1,
a = -1,
b = 2,
n = 30 ;
г) y =
1 ,
x2- x + 1,
a = -1,
b = 3,
n = 40 ;
д) y =
x - 3 ,
a = -1,
b = 4,
n = 50 ;
x2 + 2
е) e = x 2 e-x ,
a = - 1,
b = 3,
n = 40 ;
ж) y
= e-x sin 2x,
a = - π/ 2,
b = 2π, , n = 50 ;
з) 3
(x + 2 )2 - 3
(x - 2 )2 ,
a = - 3,
b = 3,
n = 50 .
338.Даны натуральное число n , целые числа a1, .. . , a25 , b1, ... ,bn.
Среди a1, .. . , a25 нет повторяющихся чисел, нет их и среди b1, ... ,bn.
а) Построить пересечение последовательностей a1, ... ,a25 и
b1, ... ,bn(т.е. получить в каком-нибудь порядке все числа,
346.Даны натуральное число k , действительное число a, (a>0).
Последовательность
x0, x1, .... образована по закону
x0= a, xi=
k - 1 xk
i-1
+ a
x
k - 1
x
k
i - 1
, i = 1, 2, .... .
Найти первое значение
xn , для которого n
- a < 10-4
(последовательность,
x0, x1, ... сходится к k a ).
347.Даны целые числа a1, ... ,a30 . Пусть M – наибольшее, а m – наименьшее из a1, ... ,a30Получить в порядке возрастания все целые из интервала ( m, M ), которые не входят в последовательность a1, ... ,a30 .
348.Даны целые числа a1, ... ,an, b1, ... ,bn*). Верно ли, что эти две последовательности отличаются не более чем порядком следования членов?
*) В этой и некоторых из следующих задач этого параграфа надо иметь ввиду соглашение, принятое в примечании №277.
349.Даны целые числа a1, ... ,an . Для каждого из чисел, входящих в последовательность a1, ... ,an , выяснить, сколько раз оно входит в эту последовательность. Результат представить в виде ряда строк, первая из которых есть a1- k , где k-число вхождений a1в последовательность a1, ... ,an . Вторая строка будет иметь вид ai- m ,
где ai- первый по порядку член последовательности, отличный от a1а
m - число вхождений этого члена в последовательность.
350.Даны натуральные числа k, n a1, ... ,akn . Получить:
min (max (a1, ... ,ak), max (ak+1, .... , a2k), ... , max (ak(n - 1)+ 1, ... ,akn))
351.Даны натуральные числа a1, ... ,an . Известно, что a1, ... перестановка чисел 1, ... ,n , т.е. в последовательности a1, ... ,an встречаются все числа 1, ... ,n .Будем говорить, что натуральное m
,an –
переводится данной перестановкой в натуральное k (m £ n, k £ n) , если
am= k . Например, число 1 переводится в a1,
a1переводится в aa и
т.д. Рассмотрим образованную этим способом последовательность
1, a, a
a ,... .
а) Доказать, что первый член этой последовательности, для
которого имеется равный среди предыдущих, есть 1. Получить по
порядку все члены последовательности 1, a, aa
повторению числа 1.
,... предшествующие
б) Кроме той последовательности, которую требуется получить в а), получить аналогичные последовательности, начинающиеся с
чисел, больших1. При этом последовательности должны быть попарно различны, и каждая из них должна начинаться с наименьшего члена.
Например, если n = 6, a1= 3,
a2= 2,
a3= 5,
a4= 6,
a5= 1,
a6 = 4 , то
должны быть получены последовательности
1, 3, 5,
4, 6.
352.Пусть цвета экрана имеют номера 0, 1, ... , k . Высветить все точки экрана (или точки некоторой прямоугольной области) различными цветами, используя для точки с координатами i, j цвет с номером, равным остатку от деления m на k + 1 , где m может быть взято, например, равным:
точки (x1,y1), (x2,y2),..., (x10,y10) , которые входят в эту последовательность ровно один раз.
354.Даны натуральные числа.
x1,y1,...,x10,y10. Построить на
экране точки с координатами прямых:
xi , yi
(i = 1,..., n) и соединить отрезками
а) каждую из n точек со всеми остальными n -1 точками;
б) точки с номерами одной четности; в) точки с номерами разной четности.
355.Даны натуральные числа
x1, y1,...,xn , yn. Построить на
экране точки с координатами
xi, yi(i = 1,...,n) и соединить пары
наиболее удаленных друг от друга.
356.Даны натуральные числа
x1, y1, c1,..., xn, yn, cn. Каждые
три числа
xi , yi, ci
задают координаты точки и ее цвет (i = 1, ..., n). Из
точек одного цвета получить на экране: а) первую;
б) последнюю.
357.Даны натуральные числа
x1, y1, r1,....,xn , yn , rn , которые
задают последовательность окружностей так, что
xi , yi – координаты
центра, а ri– радиус i -й окружности (i = 1, ..., n) . Получить на экране окружности , которые имеют общие точки с некоторыми другими окружностями последовательности.
358.Получить окружности, указанные в предыдущей задаче, и дополнительно целиком закрасить каким-нибудь одним цветом часть экрана, покрываемую кругами, ограниченными этими окружностями (рис. 17).
359.Даны натуральное число n , символы
s1, ..., s10, t1, ..., tn*).
Получить все не превосходящие n - 9 натуральные i , для которых
s1= ti, s2= ti+1, ..., s10= ti+9.
*) Задачи 359-366 допускают строковые варианты (см. примечание к задаче 252).
число символов sn+1,..., smтак, чтобы последовательность
s1,..., sm
стала
палиндромом:
s1= sm, s2= sm-1 ,... .
364.Даны символы
s1,..., s50 . Выяснить, верно ли, что хотя бы
один символ входит в
s1,..., s50
более одного раза и при этом так, что
между любыми двумя его вхождениями встречается буква a или b.
365.Даны натуральное число n , символы
s1,..., sn. Будем
рассматривать слова, образованные символами, входящими в
последовательность
s1,..., sn(см. задачу 269) считая при этом, что
количество символов в каждом слове не превосходит 15.
а) Найти наибольшую длину символов-палиндромов. (Если палиндромов нет, то ответом должно быть число 0.)
б) Выяснить, верно ли, что каждое слово, не являющееся палиндромом, имеет четную длину.
в) Выяснить, имеются ли два слова, каждое из которых получается переворачиванием другого.
г) Удалить из
s1,..., snвсе слова, встречающиеся более двух раз.
366.Даны символы a1,..., a10, натуральное число n , символы
s1,..., sn. Как и в предыдущей задаче, будем рассматривать слова,
входящие в последовательность
s1,..., sn, по-прежнему считая, что
количество символов в каждом слове не превосходит 15. Будем также считать, что среди символов a1,..., a10нет пробелов, и поэтому последовательность a1,..., a10может рассматриваться как одно слово. В словах могут встретиться ошибки:
1) переставлены две соседние буквы;
2) заменена одна буква;
3) пропущена одна буква.
Требуется найти в
s1,..., snвсе слова, из которых могло бы получиться
a1,..., a10в результате одной ошибки.
§11. Вложенные циклы в матричных задачах
367.Даны целые числа a1, a2, a3. Получить целочисленную
i2+1
i2+ i +1
100 50 1
в) ) )
n (2i ) ! + x 
а) )
m
в) y =
x2- x + 1,
x2 + 2
з) 3
338.Даны натуральное число n , целые числа a1, .. . , a25 , b1, ... ,bn.
значений
x0= a, xi=
Найти первое значение
Рис.17