Сложные декурсивные проценты

S₁=P+I₁=P+Pi=P(1+i)

S₂=S₁+S₁i=S₁(1+i)=P(1=i)(1+i)=P(1+i)²

S_n=P(1+i)ⁿ

(1+i)ⁿ – коэффициент наращения сложных декурсивных процентов

- операция дисконтирования

(1+i)^-n –коэффициент дисконтирования

Частные случаи начисления сложных декурсивных процентов:

1. Срок ссуды (n) не целое число:

- схема начисления сложных процентов

S_n=P(1+i)ⁿ

- смешанная схема – является более точной и банки при расчете параметров различные операций применяют её.

n=n_a^{(целая часть)}+n_b^{(дробная часть)}

2. Проценты начисляются чаще чем 1 раз в год (m>1). В этом случае проценты начисляются по периодической ставке – , кроме того, количество периодов начисления процентов возрастает в n раз и становится равным m*n (количество периодов начисления процентов)

3. Проценты начисляются непрерывно. Если m – конечное число, как угодно большое – проценты называются дискретными, если m стремится к бесконечности – непрерывные проценты.

eⁱⁿ – коэффициент начисления непрерывных декурсивных процентов

4. Размер вклада не меняется в течении всего срока, изменяется процентная ставка.

Задача.

Клиент поместил в банк 100000 руб. на 5 лет под 36% годовых. Определить наращенную сумму при начислении сложных процентов:

а) ежегодно

б) ежемесячно

в) ежедневно

г) непрерывно

а)

S_n=P(1+i)ⁿ

S=100000*(1+0,36)⁵=465 258,74 (руб.)

б)

S=100000*(1+0,36/12)^5*12=589 160,31 (руб.)

в)

S=100000*(1+0,36/360)^5*360=604 420,89 (руб.)

в)

S_n=Peⁱⁿ

S=100000*e^0,36*5=604 962 (руб.)

Задача.

Срок ссуды 5 лет, первоначальный размер долга 100000 руб., договорная процентная ставка 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0.75% в оставшиеся. Рассчитать наращенную сумму.

S=100000*(1+0,125)²*(1+0,1275)⁴

S=100000*1,2656*1,4334=181407 (руб.)

Задача.

Кредит в размере 3000000 выдан на 3 года и 160 дней, под 16,5% годовых. Необходимо найти наращенную сумму полагая, что в году 365 дней.

S=3000000*(1+0,165)³*(1+160/365*0,165)

S=3000000*1,5811*1,07=5 075 331 (руб.)

Задача.

Вкладчик хотел бы за 4 года удвоить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк, если:

а) проценты начисляются 1 раз в год

б) проценты начисляются ежеквартально

а)

S_n=P(1+i)ⁿ

2P=P(1+i)⁴

2=(1+i)⁴

i=0,189

6)

2P=P(1+i/4)^4*4

2=(1+i/4)¹⁶=0,177

Задача.

Определите число лет, необходимое для увеличения первоначального капитала в 5 раз при начисления сложных и простых процентов по ставке 15% годовых.

а)

S_n =P(1+ni)

5P=P(1+n0,15)

n=0,266

б)

S_n=P(1+i)ⁿ

5P=P(1+0,15)ⁿ

5=1,15ⁿ

ln 5=n* ln 1,15

n=11,5