Простые декурсивные проценты

S₁=P+I=P+P*i=P(1+i)

S₂=P+2I=P+2P*i=P(1+2i)

S_n=P+nI=P+nP*i=P(1+ni) –основное уравнение для простых декурсивных процентов

(1+ni) – коэффициент начисления простых декурсивных процентов, показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначального размера капитала (величина безразмерная)

– операция дисконтирования по простым декурсивным процентам

(1+ni)^-1 – коэффициент дисконтирования по простым декурсивным процентам

Виды простых процентов (в зависимости от точности определения n):

1. Точные проценты, с точным числом дней ссуды n=t/K (K – временная база или длительность года в днях) День выдачи ссуды и день возврата принимают за 1 день, t и K определяют по календарю.

Задача.

Ссуда выдана с 3 янв. по 12 мар.

t=(31-2)+28+12-1=68 (дней)

n=68/365

2. Обыкновенные проценты, с точным числом дней ссуды (t – точно по календарю, K – 360 дней) (Банковский процент).

3. Обыкновенные проценты, с приближенным числом дней ссуды. Условно считаю, что длительность каждого месяца 30 дней, K – 360.

t=(30-2)+30+12-1=69 (дней)

n=69/360

Особые случаи начисления простых декурсивных процентов:

1. Процентная ставка по вкладу остается неизменной (i=const), в течение срока ссуды меняется размер вклада P (характерно для вкладов до востребования)

Девизор (360/i)

S_n=P_n+I

I_год=P*I – процентный доход за год

– процентный доход за день

I=(P₁t₁+P₂t₂+…+P_nt_n)/(360/i)

2. В течение срока ссуды не меняется размер вклада, процентная ставка по вкладу меняется

S_n=P+Pn₁t₁+Pn₂t₂+…+Pn_nt_n=P(1+Σ(n_ji_j))

Задача.

На какой срок необходимо поместить денежную сумму, под простую процентную ставку 28% годовых, чтобы она увеличилась в полтора раза.

S_n=P(1+ni)

1+ni=1,5

i=0,28

ni=1,5-1=0,5

n=0,5/0,28

n=1,78

t=n*360

t=643 (дн)

Задача

Господин Н поместил в банк 16 000 руб. первые пол года процентная ставка равнялась 24% годовых, каждый следующий квартал годовая ставка повышалась на 3%. Найти наращенную сумму за 1,5 года, какой постоянной процентной ставке можно получить такую же наращенную сумму?

S_n=P(1+Σ(n_ji_j))

1)S_n=16000*(1+0,5*0,24+0,25*0,27+0,25*0,3+0,25*0,33+0,25*0,36)=22960

2)22960=16000(1+1,5i)

i=0,29

Задача

В финансовом договоре клиента с банком предусмотрено погашение долга в размере 8,9 тыс. руб., размер долга – 8 тыс. руб., долг погашается через 120 дней после получения. Определить доходность этой сделки для банка.

S_n=P(1+ni)

8900=8000*(1+(120/360)*i)

i=0,3375

Задача

Сберегательный счет был открыт 10 марта. На него положили 8000 руб., 14 апреля поступило еще 4000 руб., 25 июня сняли 3000 руб., 4 сентября сняли еще 2000 руб. Счет был закрыт 20 декабря, процентная ставка – 30% годовых (365/360). Год високосный. Какую сумму получил вкладчик при закрытии счета.

t₁=31-9+14-1=35

t₂=30-13+31+25-1=72

t₃=30-24+31+31+4-1=71

t₄=30-3+31+30+20-1=107

P₁=8000

P₂=12000

P₃=9000

P₄=7000

I=(8000*35+12000*72+9000*71+7000*107)/(360/0,3)=2110

S_n=7000+2110=9110

Задача

Предприниматель получил в банке кредит на 90 дней под 36% годовых, при этом банк удержал комиссионные в размере 2,5% от величины кредита. Найти фактическую доходность этой сделки для банка, если банк начисляет проценты, полагая, что в году 360 дней. Как измениться доходность операции пре выдаче кредита на 60 дней и на 120 дней?

1)

S_n=P(1+ni)

S_n=P(1+0,25*0,36)

S_n=1,09P

1,09P=0,975P(1+0,25j)

1,09/0,975=1+0,25j

j=0,48

2)

S_n=P(1+ni)

S_n=P(1+0,17*0,36)

S_n=1,0612P

1,0612P=0,975P(1+0,17j)

1,0612/0,975=1+0,17j

j=0,52

3)

S_n=P(1+ni)

S_n=P(1+0,33*0,36)

S_n=1,1188P

1,1188P=0,975P(1+0,33j)

1,1188/0,975=1+0,33j

j=0,45