к каноническому виду

Даны две прямоугольные системы координат и со свойствами: оси и , а также и параллельны и одинаково направлены, а начало системы имеет известные координаты относительно системы .

Тогда координаты и произвольной точки плоскости связаны соотношениями:

(23)

Формулы (18) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей координат.

Уравнение эллипса с полуосями и , центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям, имеет вид:

, (24)

Рис.7

Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид:

, (25)

где - координаты центра гиперболы.

Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной оси абсцисс, имеет вид:

, (26)

, (27)

Если ось параболы параллельна оси ординат, то

, (28)

, (29)

Пример 5.1.

Уравнение линии привести к каноническому виду и построить ее.

Решение.

Выделим в правой части уравнения полные квадраты:

Уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью . Прямые и являются осями симметрии гиперболы, параллельными координатным осям и соответственно.

Построим основной прямоугольник гиперболы со сторонами и с центром в точке (рис. 8). Диагонали этого прямоугольника являются асимптотами гиперболы.

Рис.8

Найдем уравнения асимптот. Так как асимптоты проходят через точку и имеют угловые коэффициенты (см. уравнение (12)), то уравнения прямых запишутся следующим образом:

; ; ; .

Получим уравнения асимптот: и .

Найдем вершины гиперболы. В системе координат : , , т.е. , ; , ; . Из формул (23) получим:

Точка : Точка :

Итак, в системе координат вершины гиперболы выглядят следующим образом: , .

Найдем фокусы гиперболы. Из формулы (10) имеем: ; . Координаты фокусов в системе координат : и .

Точка : Точка :

В системе координат координаты фокусов: ,

По формуле (11) вычислим эксцентриситет:

Задачи для самостоятельного решения:

Каждое из следующих уравнений путем параллельного переноса привести к каноническому виду; определить тип; изобразить на чертеже расположение геометрических образов относительно старых и новых координат. Определить основные характеристики.

1. 9.