Парабола

Параболой называется множество всех точек на плоскости, каждая из которых одинаково удалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой.

Число p>0 называется параметром параболы и равно расстоянию от фокуса F до директрисы l.

Если фокус параболы находится в точке , а директриса N имеет уравнение , то такая парабола имеет каноническое уравнение:

, (18)

Точка называется вершиной параболы.

Ось - ось симметрии параболы.

Расстояние от точки параболы до фокуса F (фокальный радиус) вычисляется по формуле

. (19)

Парабола, симметричная относительно оси , с вершиной в начале координат, имеет уравнение

, (20)

Фокус параболы находится в точке .

Уравнение директрисы этой параболы

. (21)

Фокальный радиус точки параболы

. (22)

Графики парабол и строятся в полуплоскостях, соответствующих отрицательным значениям переменных и .

Пример 4.1.

Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси ,фокус которой находится в точке пересечения прямой с осью

Решение.

Найдем точку пересечения прямой с осью .

Т.к. расстояние от фокуса параболы до начала координат равно , то

Используя формулу (18), запишем уравнение параболы: .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Составить уравнение параболы, если дан фокус и уравнение директрисы .

3. На параболе найти точку, расстояние которой от директрисы параболы равно 4.

4. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси и отсекающей на прямой хорду длиной .

5. На параболе найти точку, расстояние которой от прямой равно 2.

6. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) . Изобразить эти линии на чертеже.

5 Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осям координат. Приведение общего уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат,