Теорема 9(формула Байеса(1)).Пусть 
— полная группа событий, и 
— некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие 
, если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:
Доказательство.По определению условной вероятности,
QED
Пример 22.Вернёмся к примеру 21. Изделие выбирается наудачу из всей произведённой продукции. Рассмотрим три гипотезы: 
, 
. Вероятности этих событий даны: 
, 
, 
.
Пусть 
. Даны также условные вероятности 
, 
, 
.
Убедитесь, что полученные нами в примере 21 вероятности совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле полной вероятности и формуле Байеса.
Пример 23.Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте: 
и 
. Априорные (a'priori — «до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы: 
.
Рассмотрим событие 
. Известно, что
Поэтому вероятность пуле попасть в мишень
Предположим, что событие произошло. Какова теперь апостериорная (a'posteriori — «после опыта») вероятность каждой из гипотез 
? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 
раз). Действительно,
