Формула полной вероятности

Пример 21.Есть три завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом первый завод производит 25%, второй завод — 35% и третий — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции первого завода, 3% от продукции второго и 4% от продукции третьего завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти а) вероятность купить бракованное изделие; б) условную вероятность того, что купленное изделие изготовлено первым заводом, если это изделие бракованное.

Первая вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, т.е. . Вторая вероятность равна доле брака первого завода среди всего брака, т.е.

Заметим, что найти эти вероятности можно безо всякого знания теории вероятностей вообще. Достаточно элементарного здравого смысла.

Определение 21.Конечный или счётный набор попарно несовместных событий таких, что для всех и , называется полной группой событий или разбиением пространства .

События , образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события могут быть сравнительно просто вычислены (вероятность событию произойти при выполнении «гипотезы» ) и собственно (вероятность выполнения «гипотезы» ). Как, используя эти данные, посчитать вероятность события ?

Теорема 8 (формула полной вероятности).Пусть — полная группа событий. Тогда вероятность любого события может быть вычислена по формуле:

Доказательство. Заметим, что

и события , попарно несовместны. Поэтому

Во втором равенстве мы использовали -аддитивность вероятностной меры (а что это?), а в третьем — теорему 6 умножения вероятностей.