Интегралы от простейших (элементарных) дробей

Правильные рациональные дроби вида:
1.	,
2. , k - целое положительное число.
3. (дискриминант ),
4. ( и - целое положительное число).

Найдем интегралы от этих дробей:

1.

2. .

3.

4.

23. Интеграл вида . Универсальная подстановка и другие подстановки.

Рассмотрим интеграл вид

С помощью универсальной подстановки

Выразим , и через :

,

,

, .

Частные тригонометрические подстановки:

Подынтегральная функция нечётна относительноsinx, т.е. R(-sin x, cos x) == - R(sin x, cos x). В этом случае применима подстановка t = cos x.

Подынтегральная функция нечётна относительноcos x, т.е. R(sin x, -cos x) = = - R(sin x, cos x). В этом случае применима подстановка t = sin x.

Подынтегральная функция чётна относительноsin x и cos x, т.е. R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x). В этом случае применима подстановка t = tg x (или t = ctg x, причём ответить на вопрос, что лучше, может только проба). Выраженияsin x, cos x и dx через tg x:

24. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Интегралы вида: и

1. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от дробных степеней независимой переменной , т. е. рассматривается ,то подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от с помощью подстановки , где m-общий знаменатель дробей : ,

2. Рассмотрим теперь интеграл вида . Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где m-общий знаменатель дробей . Для нахождения необходимо предварительно выразить из равенства

25. Тригонометрические подстановки. Интегралы вида: , ,

Эти интегралы находятся с помощью следующих подстановок:

1. с помощью

2. -

3. -