Формула Тейлора для функций многих переменных

12. Экстремумы функции многих переменных, необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума функции 2-х переменных.

Определение точки экстремума функций двух переменных:

Говорят, что функция имеет в максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой из неё выполняется неравенство

Необходимое условие существования:

Пусть функция имеет в экстремум. Тогда и либо равны 0, либо равны , либо не существуют.

Замечание:

Если - дифференцируемая в , то .

Достаточное условие существования:

Пусть – стационарная точка, дважды непрерывно дифференцируемой функции . Если число , то в функция имеет экстремум.

	- минимума	Экстремума нет	Требуются доп. исследования
	- максимума	Экстремума нет

13. Задача о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции z=f(x,y) в замкнутой ограниченной области.

Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить четыре шага простого алгоритма.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции z=f(x,y) в замкнутой области D.

1. Найти критические точки функции z=f(x,y), принадлежащие области D.
2. Исследовать поведение функции z=f(x,y) на границе области D, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений.
3. Найти значения функции z=f(x,y) во всех точках, полученных в предыдущих двух пунктах.
4. Из значений, полученных в третьем пункте, выбрать наибольшее и наименьшее.

14. Производная по направлению, связь с частными производными

15. Градиент функции u=u(x,y,z), свойства градиента, связь с производной по направлению.

Пусть в каждой точке некоторой области задана функция .
Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается :

.

Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора gradu на вектор .