Частные производные сложной функции многих переменных (различные случаи), полная производная.

Предположим, что в уравнении и являются функциями независимых переменных и :
. В этом случае говорят, что есть сложная функция от аргументов и .

Если функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам, то частные производные сложной функции вычисляются по формулам:

Полный дифференциал 1-го порядка сложной функции, свойство инвариантности. Дифференциал сложной функции порядка выше 1-го, нарушение свойства инвариантности.

Если функция z=f(U,V) дифференцируема, то выражение называется полным дифференциалом функции z.

Данный дифференциал не зависит от того, будут ли U и V независимыми переменными или сами будут являться функциями других переменных (свойство инвариантности)

Пусть дана функция z=f(x,y). Ее дифференциал второго порядка имеет вид: . Это будет действовать в случае непрерывности частных производных. Аналогично можно представить дифференциалы 3-го и т.д. порядков.

Дифференциал высшего порядка не инвариантен, то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменные как независимые, либо как некоторые промежуточные функции других переменных.

10. Производные неявно заданной функции 1-ой переменной и 2-х переменных.

Опр. Если некоторая функция задана равенством , то ее называют неявной функцией 1-ой переменной.

Производную неявно заданной функции 1-й переменной можно найти с использованием понятия частной производной функции двух переменных.

Опр. Если некоторая функция f(x,y) задана равенством F(x,y.z)=0, то ее называют неявной функцией 2-х переменных.

Частные производные неявной функции 2-х переменных вычисляются по формулам: