Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения имеют вид и , где - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X. Теорема. Общим решением y₀ линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) на интервале X с непрерывными коэффициентами на X является линейная комбинация линейно независимых частных решений ЛОДУ с произвольными постоянными коэффициентами , то есть . Теорема. Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) на интервале X с непрерывными на том же промежутке X коэффициентами и функцией f(x)представляет собой сумму , где y₀ - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ. Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищем в виде , где - какое- нибудь его частное решение, а – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

52Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков путем понижения порядка. Существуют три вида уравнения у"=f(x,y, у') , которые при помо­щи замены переменной сводятся к уравне­ниям 1-го порядка. 1. Уравнение вида: Введем новую функцию z(x) путем замены z(x) = у'. Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение 1-го порядка: z' = f(x), решением которого яв­ляется функция z(х) = f(x) dx + С₁. Поскольку z(x) = у', то повторным интегрированием находим общее решение уравне­ния (1): 2.Уравнениевида: т.е. уравнение не содержит в явном виде у. Пусть z(x) = у'. Тогда получаем уравнение 1-го порядка общего вида z' = f(x, z). Найдя общее реше­ние этого уравнения z = φ(x, C₁), повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (2): 3.Уравнениие вида т.е. уравнение не содержит независимой переменной x. Здесь вводят новую функцию, зависящую от у, полагая z(y) = у'. Тогда и уравнение (3) преобразуется в дифференциальное урав­нение 1-го порядка относительно функции z(y): Пусть общее решение этого уравнения z = φ(у, С₁). Тогда об­ратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции у(х) из которого методом разделения переменных получаем функ­циональное соотношение для определения общего решения уравнения (3):

53.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема о структуре общего решения.

Линейное однородное уравнение имеет вид где ри q — вещественные числа. Линейное ДУ 2-го порядка мо­жет иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение урав­нения. Таких решений для ур-я 2-го порядка — два, каков и порядок уравнения. Определение . Решения у₁(х) и у₂(х) уравнения (1) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю: лишь в том случае, когда С₁ = C₂ = 0 В том случае, когда можно найти такие числа С₁ и С₂, не равные нулю одновременно, эти функции называются линейно зависимы­ми на интервале (а, b). Линейная зависимость функций озна­чает их пропорциональность, например, у₁(х)/у₂(х) = —С₂/С₁, при у₂(х) ≠ 0 и С₁ ≠ 0. ТЕОРЕМА.Пусть решения у₁(х) и у₂(х) уравнения (1) линейно независимы на интервале (а, b). Тогда функция где С₁ и С₂ — произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения (1).Эта теорема выражает структуру об­щего решения однородного дифференц. урав-я 2-го порядка: нужно отыскать два линейно независимых реше­ния и взять их линейную комбинацию вида (3). решение уравнения (1) ищем в виде у = е^kx, где k — некоторое число. Подставляя эту функцию в уравнение (1), получаем Сокращая обе части этого равенства на е^kx, получаем квад­ратное уравнение относительно k Стало быть, если число k является корнем уравнения (4), то функция у = е^kx есть решение однородного уравнения (1). Уравнение (4) называется характеристическим уравнени­ем для дифференц-ого уравнения (1).