Объем тела вращения. Площадь поверхности вращения

Теорема 1. Если область D ограничена слева и справа вертикальными прямыми x=a, x=b, а снизу и сверху – кривыми ,причем функции - непрерывны и на промежутке [a,b]то (3) Таким образом, вычисление двойных интегралов сводится к последовательному вычислению двух интегралов, сначала вычисляется интеграл по переменной y (x - параметр), а потом полученный результат интегрируется по x , то есть двойной интеграл представим в виде повторных интегралов.

40. . Несобственные интегралы с бесконечными пределами.интегрирования. Определение.Пусть функция f(x) определена на промежутке [а, + ) и интегрируема на любом отрезке [a, R], R > 0, так что интеграл имеет смысл. Предел этого интеграла при R называется несобственным интегралом с бесконечным пределом интег­рирования: Если этот предел конечен, говорят, что несобственный ин­теграл (7.16) сходится, а функцию f(x) называют интегри­руемой на бесконечном промежутке [а, ); если же предел в (7.16) бесконечен или не существует, то говорят, что несобст­венный интеграл расходится. Аналогичным образом вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (- , b]: Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пре­делами можно определить как сумму несобственных интегра­лов (1) и (2): где с — любое число. Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода заключается в следующем: это площадь бесконечной об­ласти , ограниченной сверху неотрицательной функ­цией f(x), снизу — осью Оx, слева — прямой х = а.

41. . Несобственные интегралы от неограниченных функций. Определение .Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b : и в пределах от до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Очевидно следующее утверждение для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющегонеравенству c > a, сходится интеграл (док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности и от b не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).

42.Формула прямоугольников и трапеций.Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла где - заданная и интегрируемая на отрезке функция. Если один или оба предела равны или , то с помощью метода замены переменных можно осуществить переход к конечному отрезку от луча или всей числовой прямой. Введем на сетку с переменным шагом , т.е. множество точек , и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам: Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла на частичном отрезке и воспользоваться свойством (3). Формула прямоугольников. Заменим интеграл (3)выражением , где Тогда получим формулу которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке Формула трапеций на частичном отрезке имеет вид:

43. . Формула Симпсона.

Можно повысить точность вычислений, если вместо отрезков прямых, заменяющих криволинейные фрагменты графика функции f(x), использовать, например, фрагменты парабол, проводимых через три соседних точки графика. Подобная геометрическая интерпретация лежит в основе метода Симпсона для вычисления определенного интеграла. Весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на четное число одинаковых отрезков n, длина отрезка также будет равна h=(b-a)/n. Формула Симпсона имеет вид:: Проведя интегрирование, получим: Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке [a,b] формула Симпсона примет вид

44.Дифференциальные. уравнения с разделяющимисяпеременными. Определение . Дифференциальное уравнение вида где f₁(x) и f₂(y) — непрерывные функции, называется уравне­нием с разделяющимися переменными. Правая часть уравнения представляет со­бой произведение, в котором один сомножитель зависит только от х, а другой — только от у. Метод решения такого вида урав­нений носит название разделения переменных. Запишем производную у'в ее эквивалентной форме как отношение дифферен­циала функции к дифференциалу независимой переменной , умножим обе части уравнения (1) на dx и поделим обе его части на f₂(y), полагая, что f₂(у) ≠ 0; получаем В этом уравнении переменная у входит в левую часть, а пе­ременная х — только в правую, т.е. переменные разделены. Пусть у = φ(x) является решением уравнения (1), тогда при подстановке этого решения в уравнение (2) получаем тож­дество: два дифференциала равны друг другу, только в правой части дифференциал выражен через независимую переменную x, а в левой части — через функцию у. Поскольку дифференци­алы равны, то их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину, т.е., интегрируя слева по переменной у, а справа по переменной х, получаем где С — произвольная постоянная.

45Однородные уравнения первого порядка. Функция f(x, y) называется однородной функцией n-измерения относительно переменных хиу, если при любом λ справедливо тождествоУравнение 1-ого порядка =f(x,y) (1)называется однородным относительно х, у,если функция f(х, у)есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.Решение однородного уравнения. По условию Положив в этом тождестве λ=1/х получим f(x,y)=f(1, y/x). Уравнение (1) в этом случае примет вид =f(1, y/х)или у' = φ(у/х) (2). В однородном уравнении (2) переменные не разделяются. Но (2) легко может быть преобразовано в уравнение с разделяющимися переменными. Для этого введем новую функцию z=y/x или y=x*z. Дифференцируя последнее равенство, находим Подставляяу и в (2), приведем его к виду . В полученном уравнении переменные разделяются. Действительно, , и полагая, что имеем . Интегрируя, получим . Подставляя после интегрир. вместо z у/х, получим решение (2).

46. Линейные уравнения первого порядка.

ДУ 1-го порядка называется линейным, если его можно записать в виде у' + р(х)*у=q(х) (1) , где р(х) и q(х) — непрерывные функции.

Если q(x) 0, то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тож­дественно нулю, то уравнение (1) называется линейным не­однородным уравнением.

Особенность ДУ (1): искомая функцияу и ее производная у' входят в уравнение в 1-ой степени, не перемножаясь между собой. Существуют два способа решения уравнений такого вида. Первый способ связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называют методом Бернулли. Второй способ– это так называемый метод вариации произвольной постоянной.Решение уравнения (1) ищется в виде произведения 2-х других функций, т.е. с помощью подстановки у=u*v, где u=u(x), v=v(x) неизвестные функции от х, причем одна из них произвольна, но не равна 0. Тогда y'=u'v+uv' . Подставляяу и у'в (1) получаем u'v+uv'+р(х)*u*v=q(х) или u'v+u(v'+р(х)*v)=q(х) (2). Подберем функцию v равную v(х) так, чтобы выражение в скобках было равно 0, т.е. решить ДУ. v'+р(х)*v=0 ; . Интегрируя, получаем . К виду свободы выбора функции v(x) можно принять с=1 (ln1=0) => . Подставляя найденную функцию v в уравнение (2) получим: . Это уравнение с разделяющимися переменными. Далее получаем .Возвращаясь к переменной убудем иметь

47. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации.ДУ 1-го порядка называется линейным, если его можно записать в виде у' + р(х)*у=q(х) (1), где р(х) и q(х) заданные функции. Особенность ДУ (1): искомая функция у и ее производная у' входят в уравнение в 1-ой степени, не перемножаясь между собой. Метод вариации произвольной постоянной . Уравнение (1) интегрируется следующим образом. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: . В этом уравнении переменные делятся , т.е. или , где Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянная Св полученном уравнении заменяется функцией С(х) , т.е. полагаем С=С(х). Решение уравнения (1) ищем в виде: (2) . Тогда . Подставляя значения у и у' в уравнение (1) получим: . Отсюда . Интегрируя находим

Подставляя выражение в равенство (2) получим общее решение ДУ (1)