Определенный интеграл

Определение: Конечный предел I интегральной суммы при , если он существует, наз-ся определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b]. Определенный интеграл обозначается символом: Если определенный интеграл существует, то функция f(x) называется интегрируемойна отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования. Свойства определенного интеграла.1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов: Это свойство верно для любого конечного числа слагаемых. 3. Для любых чисел а, bис имеет место равенство

29. Интегрирование непрерывных функций. Теорема.

Теорема1: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нём. Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем. Выберем произвольное как угодно малое Согласно следствию из теоремы Кантора для положительного числа найдется такое , что при разбиении отрезка [a, b] на частичные отрезки , длина которых ,все колебания меньше . Отсюда

Следовательно, для непрерывной на отрезке [a, b], функции f(x) выполнено достаточное условие интегрируемости, а из него вытекает существование определенного интеграла.

Теорема2: Если определенная и ограниченная на отрезке [a,b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке. Теорема3: Монотонная на отрезке [a, b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке.

Требование непрерывности f(x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [a,b] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой.

30. Основные свойства определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла.1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов: Это свойство верно для любого конечного числа слагаемых. 3. Для любых чисел а, bис имеет место равенство

31. . Теорема о среднем.

Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму Так как при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k₊₁ > x_k, то m(x_k₊₁ - x_k) ≤ M(x_k₊₁ - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что получим: m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a). Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству Т. о. частное есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству (1).

32. . Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: . Переменную интегрирования обозначим буквой t, а буквой x - верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x)своего верхнего предела: .
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и . Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.

33.Формула.Ньютона-Лейбница. Теорема. Непрерывная на [a,b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является F(x)= (1).В (1) переменная интегрирования обозначена ч/з t , чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом Х. Поскольку всякая другая первообразная отличается от F(x) на постоянную величину ,то связь неопр. и опр. интеграла имеет вид , произвольная постоянная. Согласно теореме, непрерывная на [a,b] функия f(x) имеет первообразную, кот. опр-ся формулой (2). Подставляя в (2) х=а, получаем: , тогда из (2) имеем: . Далее х=в, получаем: . (3). Равенство (3) называется основной формулой интегрального исчисления Ньютона-Лейбница.

34. Площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную графиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b] и вертикальными прямыми х = а и х = b (рис. 7.2). Эту фигуру будем называть криволинейной трапецией.

Величина площади криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции f(x) на отрезке [а, b]:

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(х) соответственно, непрерывными на отрезке [а, b], то площадь S криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(х):

Замечание. Если функция f(x) непрерывна и неположительна на сегменте [a, b], то значение интеграла равно взятой с отрицательным знаком площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), ординатами в точках a и b и отрезком оси Ox между точками a и b. Поэтому, если f(x) меняет знак, то равен сумме взятых с определенным знаком площадей криволинейных трапеций, расположенных выше и ниже оси Ox, причем площади первых берутся со знаком +, а вторых со знаком -.

35.Площадь криволинейного сектора. Длина дуги плоской.кривой.Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением r = r(θ), α ≤ θ ≤ β (см. Рис. 1), причем функция r(θ) непрерывна и неотрицательна на сегменте [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы αи β, будем называть криволинейным сектором. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру, площадь S которой вычислена по формуле: Длина дуги кривой. Пусть кривая на отрезке задана уравнением , тогда дифференциал дуги кривой . Интегрируя обе части равенства, получим формулу для нахождения длины дуги кривой: . Если кривая задана параметрическими уравнениями , то дифференциал дуги кривой , тогда длина дуги кривой находится по формуле