Выпуклость и точки перегиба графика функции.

Определение 1. График функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой каса­тельной к графику функции на (а, b) (рис.1). ТЕОРЕМА 1. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх). Определение 2. Точка М(x₀, f(x₀)) называется точкой пере­гиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x₀, в пре­делах которой график функции f(x) имеет разные направления выпуклости ТЕОРЕМА 2. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб в точке M(x₀, f(x₀)) и функция f(x) имеет в точке x₀ непре­рывную вторую производную. Тогда

Отметим, что не всегда условие f"(x₀) = 0 означает нали­чие точки перегиба на графике функции у = f(x).ТЕОРЕМА 3 (достаточное условие существования точки пе­региба). Пусть в некоторой окрестности точки x₀ вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x₀. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x₀, f(x₀)).Теорема верна и для случая, когда f"(x) существует в не­которой окрестности точки x₀ за исключением самой точки x₀ и существует касательная к графику функции в точке М.