Локальный экстремум.Необходимые и достаточные условия.

Определение 1. Точка x₀ называется точкой локального мак­симума (минимума) функции f(x), если для любого х ≠ x₀ в не­которой окрестности точки x₀ выполнено неравенство f(x₀) > f(х) (f(x₀) < f(x)). Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум. Теорема1 (необходимое условие существования локаль­ного экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и имеет в этой точке локальный экстремум, то.f'(x₀)=0. Геометрический смысл теоремы1 указан на рис.1: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох. Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а зна­чит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x₀ — точка возможного экстремума, т.е. f'(x₀) = 0, то она может и не быть точкой локального экстремума. Например, для функции f(x) = x³ (рис.2) производная при х = 0 равна нулю, од­нако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема1 не является достаточным условием существования локального экстремума. Теорема2 (достаточное условие существования локаль­ного экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Если при переходе через точку x₀ слева направо производная f'(x) меняет знак с плю­са на минус (с минуса на плюс), то в точке x₀ функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не ме­няет знака в δ-окрестности точки x₀, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x₀.