Пусть и . Тогда такая, что выполняется равенство: . Другими словами, тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точкаВ которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. f (x) = f(b) - f(a)/b-a. Доказательство. Применим следствие 2 теоремы Ролля, определив функцию . Тогда такая, что , т.е. или . Теорема Лагранжа доказана.Следствие . Если , то − постоянная функция, т.е. .
и 
. Тогда 
такая, что выполняется равенство: 
. Другими словами, тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точкаВ которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. f (x) = f(b) - f(a)/b-a. 
. Тогда 
такая, что 
, т.е. 
или 
, то 
− постоянная функция, т.е. 
.