Дифференциал ф-ции.

Дифференциалом функции у = f(x) в точке x₀ называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции в этой точке: Дифференциалом dx независимой переменной х будем называть приращение этой переменной Δx, т.е. соотношение (1) принимает вид Из равенства (2) производную f'(x) в любой точке х мож­но вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx: Дифференциал функции имеет четкий геометрический смысл (рис. 1). Пусть точка М на графике функции у = f{x) соответствует значению аргумента x₀, точка N — зна­чению аргумента x₀ + Δx, MS — касательная к кривой f(x) в точке М, φ — угол между касательной и осью Ох. Тогда МА — приращение аргумента, AN — соответствующее при­ращение функции. Рассматривая треугольник АВМ, получа­ем, что АВ = Δx tg φ = f'(x₀) Δx = dy, т.е. это главная по по­рядку величины Δx и линейная относительно нее часть прира­щения функции Δу. Оставшаяся часть более высокого порядка малости соответствует отрезку BN.

5.Дифференцирование обратной и сложной ф-ции

Производная сложной функции Рассмотрим сложную функцию y = y(u(x)) Теорема1. Если функции y = y(u), u = u(x) дифференцируемы (т.е. существуют производные y'_u, u'_x), тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема и y'_x = y'_u u'_x. Доказательство. Если аргумент x получит приращение Δx, то функция u получит приращение Δu = u(x + Δx) − u(x), а функция y получит приращение Δy = y(u + Δu) − y(u). Но тогда, воспользовавшись свойствами предела функции, получаем

Теорема доказана. Производная обратной функции Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y). Теорема 2. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) ≠ 0, то функцияy=f(x) дифференцируема, и Доказательство. Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом:Δx=g(y + Δy) − g(y).Тогда получаем

Теорема доказана.