Дифференцируемость ф-ции.

Дифференциалом функции у = f(x) в точке x₀ называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции в этой точке: Дифференциалом dx независимой переменной х будем называть приращение этой переменной Δx, т.е. соотношение (1) принимает вид Из равенства (2) производную f'(x) в любой точке х мож­но вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx: Дифференциал функции имеет четкий геометрический смысл (рис. 1). Пусть точка М на графике функции у = f{x) соответствует значению аргумента x₀, точка N — зна­чению аргумента x₀ + Δx, MS — касательная к кривой f(x) в точке М, φ — угол между касательной и осью Ох. Тогда МА — приращение аргумента, AN — соответствующее при­ращение функции. Рассматривая треугольник АВМ, получа­ем, что АВ = Δx tg φ = f'(x₀) Δx = dy, т.е. это главная по по­рядку величины Δx и линейная относительно нее часть прира­щения функции Δу. Оставшаяся часть более высокого порядка малости соответствует отрезку BN.

3.Правило дифференцированиясуммы,произведения,частногоТеорема. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) ≠ 0) также дифференци­руемы в этой точке, причем справедливы следующие форму­лы: