русс | укр

Программирование:

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог1С

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании

Обучение

Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Основные свойства тройного интеграла

Дата добавления: 2015-07-09; просмотров: 1693; Нарушение авторских прав

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

1.

2.

3. , где k - константа;

4. Если в любой точке области U, то

5. ;

6. Если область U является объединением двух непересекающихся областей U1 и U2, то;

7. Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение

8. непрерывной функции f (x,y,z)

в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:

 
 

где V - объем области интегрирования U.

9. Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то

10. существует точка M0 U, такая, что

где V - объем области U.

  
13. Тройные интегралы в декартовых координатах 14.
   
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z1(x,y), а сверху – поверхностью z = z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z1(x,y) и z2(x,y) непрерывны в области D.
     
Рис.1   Рис.2

 

Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно

аписать соотношение

 

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала

вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по

переменным x и y.
Если область D(x,y) является областью типа I (смотрите

Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями

где f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной

интеграл в виде повторного, получаем

В другом случае, когда область D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно

оси Ox) и ограничена линиями

где φ1(y), φ2(y) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ1(y) ≤ φ2(y), тройной интеграл представляется в виде

Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного

интеграла к повторному.

В частном случае, когда область интегрирования U представляет

собой прямоугольный параллелепипед , тройной

интеграл вычисляется по формуле

Если исходная область интегрирования U более сложная, чем

рассмотренная выше, то ее нужно

разбить на конечное число более простых областей, в которых

уже можно вычислить тройные

интегралы методом сведения к повторным.

  

15.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах
 
В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z – проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).
     
Рис.1    

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами

соотношениями

Здесь предполагается, что

Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен

Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:

Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда

область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Геометрические приложения тройных интегралов

Геометрическое приложение - вычисление объема любого пространственного тела.

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен

В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример

Найти объем шара x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 .

Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем

В результате получена известная формула для объема шара радиусом R.

Физические приложения тройных интегралов


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Определение тройного интеграла и его свойства. | Масса и статические моменты тела

Карта сайта Карта сайта укр

Видео
Уроки php mysql Программирование
Онлайн сервисы
Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские
Полезное

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных

 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

  
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.
Генерация страницы за: 1.272 сек.