Определение тройного интеграла
Формально определение тройного интеграла можно ввести
аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана.
Начнем с простейшего случая, когда область интегрирования
U имеет вид параллелепипеда   (рисунок 1).
Пусть множество чисел {x0, x1, ..., xm} разбивает отрезок [a, b]
на малые интервалы, так что справедливо соотношение
Аналогично построим разбиение отрезка [c, d] вдоль оси Oy и [p, q] вдоль
оси Oz:
Сумма Римана функции f (x,y,z) над разбиением  имеет вид
Здесь (ui , vj , wk) - некоторая точка в параллелепипеде (xi−1, xi)×
 (yi−1, yi)×(zi−1, zi), а приращения равны
Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде
определяется как
предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений
Δxi, Δyj и Δzk стремятся к нулю:
Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем
параллелепипед , включающий заданную область U.
Введем функцию g (x,y,z), такую, что
Тогда тройной интеграл от функции функции f (x,y,z) в произвольной области U определяется в виде:
| 