Свойства двойных интегралов.

1⁰. Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:

;

и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

2⁰. Аддитивное свойство.Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части:

.

3⁰. Теорема о среднем.Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (x,h), что:

.Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.

1. Пусть требуется вычислить двойной интеграл

,

где R ─ прямоугольник, определяемый неравенствами , (рис.22.3). Если функция непрерывна в прямоугольнике R, то

(*) = .

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определённых интегралов;

при вычислении «внутреннего» определённого интеграла считается постоянным. Правая часть формулы (*) называется повторным интеграломи обозначается следующим образом:

= .

Отметим, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования, т.е.

= .

2. Чтобы рассмотреть более общий случай, введём понятие стандартной области. Стандартной областью в направлении данной осиназывается такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках, т.е. пересекает саму область и её границу только по одному отрезку прямой.

Предположим, что ограниченная область S является стандартной в направлении оси и ограничена сверху графиком функции , снизу графиком функции (рис.22.4).

Пусть АА₁В₁В ─ минимальный прямоугольник, в котором заключена данная область S.

Тогда для непрерывной в области S функции

= .

Если же область S является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то

= .

Пример 1.Вычислить , если S = (Рис.22.5).

Решение. Область S является прямоугольником, поэтому = =

= = = = = = = = 6.

Пример 2. Вычислить по области S = (Рис.22.6).

Решение.Область интегрирования изображена на рисунке. Имеем

= =

= = = = = = = = = .

Замечание. Если область интегрирования S не удовлетворяет условиям стандартной области, каждая из которых была бы стандартной в направлении одной из осей, и вычислить двойные интегралы по каждой части отдельно.

8. Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).   Рис.1   Рис.2 Якобиан такого преобразования имеет вид     Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2): Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!