Обобщённая формула интегрирования по частям в определённом интеграле

Многократное применение вышеприведённой формулы интегрирования по частям к интегралу вида

приводит к обобщённой формуле интегрирования по частям

Для облегчения выполнения интегрирования по частям рекомендуется заполнение таблицы по следующему правилу

Умножая соответствующие элементы в столбцах этой таблицы с учётом знаков в первой строчке, получим слагаемые вне знака интеграла. Конечное интегральное слагаемое формируется с учётом соответствующего знака в первой строчке, конечного элемента второй строчки и предпоследнего элемента третей строчки таблицы.
При заполнении таблицы составляющие второй строки дифференцируется, а составляющие третьей строчки интегрируется.
Целесообразность применения формулы связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).

Пример применения интегрирования по частям в определённом интеграле

Вычислить интеграл .
Решение.

Откуда получаем рекуррентную формулу

.

Применение этой формулы приводит к интегралам

,

В частности

.

5. Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: · Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; · Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].   Бесконечные пределы интегрирования Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞) Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом: Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся. Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится. Теоремы сравнения Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞). 1. Если сходится, то также сходится; 2. Если расходится, то также расходится; 3. Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся. Интеграл от разрывной функции Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися. Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

6.Приложения определенного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры

1.1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле (см. 10.1 рис. 1).

1.2. Если на отрезке [a, b], - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычисляется по формуле (рис. 10).

1.3. Если функция на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рис. 11).

рис. 10 рис. 11

П р и м е р 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему

=

кв. ед. (рис. 12).

1.4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями a £ t £ b в формуле надо сделать замену переменной, положив , тогда получим , где a и b - значения параметра t, соответствующие значениям x=a и x=b, т. е. .

П р и м е р 16. Найти пло-щадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью .

Замечание. Циклоида - плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса a, катящаяся без скольжения по прямой линии (рис. 13).

Решение. Искомая площадь

; .

П р и м е р 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , y = 2 .

Решение. Из условия задачи следует, что y>0 при любом t. Решим
неравенство

, , .

Но по условию . При k = 0

p ¤2 £ t £ 3p ¤2 Þ , .

При x не будет принадлежать интервалу . Фактически нужно вычислить площадь фигуры, заключенной между прямой y = 2 и частью циклоиды, расположенной выше этой прямой (рис. 14).

Искомая площадь

.

7. Двойные интегралы.

Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f(x,y) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x) или x=g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.

Разобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i-го участка обозначим символом Ds_i. На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P_i, и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (x_i,y_i). Составим интегральную сумму для функции f(x,y) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках P_i, умножим их на площади соответствующих участков Ds_i и просуммируем все полученные результаты:

. (1.1)

Назовем диаметром diam(G) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом ). Это записывают следующим образом

. (1.2)

Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек P_i. Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f(x,y) была интегрируемой в области D), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования.

Пусть функция f(x,y) интегрируема в области D. Поскольку предел соответствующих интегральных сумм для таких функций не зависит от способа разбиения области интегрирования, то разбиение можно производить при помощи верти­кальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид, площадь которых равна Ds_i=Dx_iDy_i. Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy. Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде

. (1.3)

Замечание. Если подынтегральная функция f(x,y)º1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:

. (1.4)

Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.