Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.
Свойства модуля:
Модуль положительного числа равен самому числу. |a| = a, если a > 0;
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу. |-a| = a, если a < 0;
Модуль нуля равен нулю. |0| = 0, если a = 0;
Противоположные числа имеют равные модули. |-a| = |a|;
Примеры модулей рациональных чисел:
|-4,8| = 4,8
|0| = 0
|-3/8| = |3/8|
4.Основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств.
Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками квадратного, кубического и т. д. корня. Иррациональные урав- нения и неравенства обладают определённой спецификой.
Учёт ОДЗ
Напомним, что область допустимых значений (сокращённо ОДЗ) уравнения или неравенства есть множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения или неравенства имеют смысл. В любой задаче можно обойтись без поиска (и без упоминания) ОДЗ, так что особой необходимости в этом понятии нет. Но и вреда в нём тоже нет2 ; более того, в отдельных ситуациях нахождение ОДЗ оказывается весьма полезным. Так, в некоторых иррациональных уравнениях и неравенствах дело не доходит до каких-либо специфических приёмов — достаточно пристального взгляда и учёта ОДЗ.
Равносильные преобразования
Мы переходим к рассмотрению стандартных видов иррациональных уравнений и неравенств. Здесь предварительный поиск ОДЗ оказывается, как правило, ненужным шагом; наиболее эффективно эти задачи решаются с помощью соответствующих равносильных переходов. Уравнения вида √ A = √ B
Начнём с примера.
Пусть надо решить уравнение √ x = √ 2x + 1. В силу монотонности функции √ x подкоренные выражения должны быть равны: x = 2x+1, откуда x = −1. Однако подстановка этого значения x в уравнение даёт отрицательные числа под радикалами; следовательно, x = −1 не является корнем данного уравнения, и потому оно не имеет решений. Теперь рассмотрим общую ситуацию. Пусть имеется уравнение √ A = √ B, где A и B — некоторые выражения, содержащие переменную. Тогда, во-первых, подкоренные выражения должны быть равны: A = B. Во-вторых, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными; но в силу их равенства достаточно потребовать неотрицательности одного из них. Таким образом, имеем: √ A = √ B ⇔ ( A = B, A > 0 или √ A = √ B ⇔ ( A = B, B > 0. При этом естественно требовать не отрицательности того выражения, которое устроено проще.
5.Посторение графиков функции, аналитические выражения которого содержат модуль.:
Модуль числа – это расстояние от точки отсчёта до точки соответсвующей этой точке.
Алгоритм построения графика y=|f(x)|.
1.Строим график y=f(x)
2.Участки графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения.
3.Участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отобразить относительно этой оси.
Алгоритм построения графика y=f(|x|).
1.Построим график y=f(x).
2.удалим все точки находящиеся слева оси OY.
3.Все точки, лежащие на оси ОУ и справа от неё ,отразим симметрично относительно оси ОУ.
Алгоритм построения графика |y|=|f(x)|
1.Строим график y=f(x).
2.строим график y=|f(x)|.
3.Осуществить его зеркальное отображение относительно оси Ох.
6.Cвойства и график квадратной функции y=ax+bx+c
Функция, которую можно задать формулой y=ax2+bx+c, где a,b,c∈R и a≠0,
называется квадратичной функцией.
Областью определения функции y=ax2+bx+c (допустимыми значениями аргумента x) являются все действительные числа (R).
Графиком квадратичной функции является парабола.
абсциссу вершины параболы (xo;yo) можно вычислить по формуле:
xo=−b/2a.
Чтобы построить график квадратичной функции необходимо:
1) вычислить координаты вершины параболы: x0=−b/2a и y0, которую находят, подставив значение x0 в формулу функции,
2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы,
3) определить направление ветвей параболы,
4) отметить точку пересечения параболы с осью Oy,
5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента x.
Решив квадратичное уравнение ax2+bx+c=0, получаем точки пересечения параболы с осью Ox или корни функции (если дискриминант D>0)
если D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует,
если D=0, то вершина параболы находится на оси Ox.
7. Свойства и график биквадратной функции y=ax^4+bx^2+c.
Биквадратное уравнение[4] — уравнение четвёртой степени вида ax^4+bx^2+c=y, где a,b,c — заданные комплексные числа и а не равно 0. Подстановкой у=х^2, убольше либо =0 сводится к квадратному уравнению относительно у.
Четыре его корня:
Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду:
,
и после замены ищется решение квадратного уравнения .
Свойства:
1.Биквадратное уравнение можно заменой y=x2 свести к квадратному уравнению y2+by+c=0.
2. Биквадратное уравнение можно решить заменой y=x+x1 , при условии, что c>0.
такого, что 
, решение находится приведением к виду:
,
ищется решение квадратного уравнения 
.