Теорема 6.

Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое уравнение logaf(x)=logag(x), где a>0, a≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).

2.Основные методы решения уравнений. Теоремы, обосновывающие эти способы.

Решение уравнения–это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием.

Основные тождественные преобразования:

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) ² = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9x² + 12x + 4 = 15x + 10

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками.Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9x² + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего получим: 9x² – 3x – 6 = 0 .

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю. Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x – 3, мы получим уравнение ( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень. И наоборот, деление может привести к потере корня. Так, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x – 3 .

Можно возвести обе части уравнения в нечетную степень или извлечьиз обеих частей уравнения корень нечетной степени. Необходимо помнить, что:

а) возведение в четную степень может привести к приобретению посторонних корней;

б) неправильное извлечение корня четной степени может привести к потере корней.

Уравнение 7x = 35имеет единственный корень x =5. Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение: 49x²= 1225 ,
имеющее два корня: x =5и x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем. Неправильное извлечение квадратного корня из обеих
частей уравнения 49x ²= 1225 даёт в результате 7x = 35,и мы теряем корень x = – 5. Правильное извлечение квадратного корня приводит к
уравнению: | 7x | = 35,аследовательно, к двум случаям: 1) 7x = 35,тогда x =5 ;2) – 7x = 35,тогда x = – 5 .Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения.