Элементарная математика.

1.Равносильность уравнений. Уравнение-следствие. Теоремы равносильности.

Определение 1.

Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Определение 2.

Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) (1)

является в то же время корнем уравнения p(x)=h(x),(2)

то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Утверждение: Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Решение уравнения, как правило, осуществляется в три этапа:

Первый этап — технический.

На этом этапе осуществляют преобразования и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения.

На этом этапе анализируем, все ли проведённые преобразования были равносильными.

Третий этап — проверка.

Если анализируя преобразования на втором этапе, делаем вывод, что получили уравнение-следствие, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Т. Равносильности.

1 теор. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

2 теор.

Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

3 теор. Показательное уравнение af(x)=ag(x), где a>0, a≠1 равносильно

уравнению f(x)=g(x).

4 теор. Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое:

a) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x)=g(x);

б) нигде в этой области не обращается в 0,

то получится уравнение f(x)⋅h(x)=g(x)⋅h(x), равносильное данному.

Следствие теоремы 4.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.