ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ

Как известно, геометрические тела (их называют еще про­странственными фигурами) изучаются в разделе геометрии, на­зываемом стереометрией, причем изучают те свойства реальных физических тел, которые могут быть охарактеризованы словами «форма», «размер», «взаимное расположение». От всех остальных свойств в стереометрии абстрагируются. Так, можно говорить о шаре, радиус которого 5 см, но нельзя говорить о синем шаре, железном шаре и т.д.; этими свойствами геометрические тела не обладают.

Пространство, изучаемое в стереометрии, называется трехмер­ным в отличие от двумерной плоскости (или одномерной пря­мой).

Слово «стереометрия» — греческое, оно произошло от слов «сте­рео» — тело и «метрио» — измерять, т.е. буквально стереометрия означает «теломерис».

Стереометрия, как и планиметрия, возникла в Древнем Египте и развивалась в связи с потребностями практической деятельно­сти человека. При строительстве даже самых примитивных соору­жений необходимо было рассчитать, сколько материала пойдет на постройку, уметь вычислить расстояния между точками в простран­стве и величины углов между прямыми и плоскостями, знать свой­ства геометрических тел. Египетские пирамиды, сооруженные за 2 — 3 тыс. лет до н. э., поражают точностью своих метрических со­отношений, свидетельствующих о том, что их строители имели немалые знания из стереометрии.

Основные понятия стереометрии — точка, прямая и плоскость. Аксиоматика стереометрии включает все аксиомы планиметрии и группу аксиом, раскрывающих содержание понятий прямой и плос­кости в пространстве (они сформулированы в под разд. 20.2). В сте­реометрии считают, что на любой плоскости в пространстве вы­полняются все аксиомы, определения и теоремы планиметрии. Равенство фигур в пространстве определяется так же, как и для фигур на плоскости.

Пространственную фигуру (тело) называют выпуклой, если для любых двух точек, принадлежащих фигуре, отрезок, соединяю­щий эти дне точки, также принадлежит фигуре (телу).

Чтобы изучать свойства геометрических фигур, их надо постро­ить. В планиметрии изображения фигур равны (или подобны) самим фигурам. В стереометрии между пространственными фигурами и их изображениями на плоскости такого совпадения нет. Так, чертеж куба лишь условно изображает куб, он не равен самому кубу, т.е. не может быть с ним совмещен. Поэтому при изучении стереометрии необходимо научиться мысленно представлять про­странственные фигуры, а их изображение на плоское™ этому дол­жно помогать. Кроме того, чтобы изучать стереометрию, необхо­димо не только уметь изображать на плоскости геометрические тела, но и по данному чертежу находить свойства изображенного геометрического тела.

Напомним, что в стереометрии прямые изображаются так же, как в планиметрии: в виде отрезка прямой. Плоскость целиком также невозможно изобразить. Поэтому часть плоскости изобража­ют в виде параллелограмма или криволинейной фигуры.

В школьном курсе стереометрии изучают взаимное расположе­ние прямых и плоскостей в пространстве, свойства углов между прямой и плоскостью, между плоскостями, свойства многогран­ников и круглых тел, их преобразования. В нашем курсе мы повто­рим только некоторые вопросы, важные для учителя начальных классов с профессиональной точки зрения — это, прежде всего, виды основных геометрических тел и правила их изображения на плоскости.