Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения 
. Получим квадратное уравнение:
;
.
Получены два одинаковых корня, поэтому общее решение запишем в виде:
.
Составим частное решение неоднородного уравнения.
Так как в правой части уравнения 
находится многочлен, то очевиден подбор частного решения.
,
где А, В – неопределенные коэффициенты, которые находим, подставляя 
в исходное уравнение. Для этого найдем 
и 
.
;
.
Тогда получим:
;
;
;
;
Значит:
.
Общее решение неоднородного уравнения получим, складывая 
и .
.
Найдем константы из начальных условий. Для этого найдем первую производную.
.
Подставим найденные выражения в начальные условия:
;
Следовательно, частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям имеет вид:
Ответ: .
Задание № 4. Исследовать на сходимость ряды.
а) 
.
