Решение.

Сначала находим все решения однородного уравнения, соответствующего данному:

.

Разделяем переменные и интегрируем обе части уравнения:

;

;

;

;

;

.

Эта формула представляет общее решение однородного уравнения, где С – произвольная постоянная. Для получения всех решений данного уравнения считаем С = С(х) и требуем, чтобы функция удовлетворяла ему. Находим производную подставляем полученные значения в исходное уравнение:

.

;

;

;

.

Интегрируем:

, где С₁ – новая произвольная постоянная.

Подставив значение С в , получим решение дифференциального уравнения:

Ответ: .

Задание № 2. Решить дифференциальные уравнения.

б) .

Решение.

Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

;

.

Так как , то данное уравнение есть уравнением в полных дифференциалах, следовательно, общий дифференциал уравнения имеет вид .

, где пока неопределенная функция.

Интегрируя, получаем:

Частная производная найденной функции должна равняться , что дает:

;

;

;

так что

.

Таким образом,

Общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

Ответ:

№ 3. Найти решение задачи Коши.

, , .