Решение.

Задание № 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , ограниченной заданными линиями.

, : , , .

Решение.

Изобразим замкнутую область на графике:

Замкнутой областью D является треугольник АВС.

Найдем точки экстремумы, принадлежащие области D. Для этого найдем частные производные первого порядка:

;

.

Заметим, что найденные производные первого порядка существуют для всех значений x и y. То есть, нету точек, в которых хотя бы одна производная не существует. Попробуем отыскать точки, в которых обе частные производные равны нулю (стационарные точки):

Точка М(2; 1) принадлежит области D, поэтому вычислим значение функции в этой точке:

.

Исследуем функцию z на границе области (треугольник ABC), который состоит из трех звеньев:

1. АВ: , где (подставляем в уравнение значение у=0).

Находим точки экстремумы на данной границе области. Для этого найдем производную:

Следовательно, критических точек в этой области нет.

2. ВС: , где (подставляем в уравнение значение х=3).

Найдем производную:

Следовательно, критических точек в этой области нет.

3. АС: , где (подставляем в уравнение значение у=х).

Найдем производную:

Получаем критическую точку , вычислим значение функции в этой точке:

.

Осталось вычислить значения функции на концах каждого из отрезков, являющихся сторонами треугольника: АВ, BC, АС, то есть в вершинах треугольника .

;

;

.

Сравнив все полученные значения функции z, делаем вывод: наибольшее значение z достигает в вершинах треугольника А и С, то есть , а наименьшее в вершине треугольника В .

Ответ: ; .

Задание № 2. Решить дифференциальные уравнения.

а)