Отчет по результатам

Ответ: Чтобы прибыль максимальной – 63330 денежных единиц, предприятие должно выпустить 0 изделий товара A, 1061 изделий товара B, 0 изделий товара C и 257 изделий товара D.

линейное программирование прибыль товарооборот

Решение задачи графическим методом

Задача решается графическим методом, если разность между количеством переменных и количеством ограничений равна двум.

n=4 (количество переменных)

m=2 (количество ограничений)

n-m=4-2=2

Выразим две переменные:

Подставим значения переменных в целевую функцию.

Найдем координаты прямых.

I. 1266,239-1,191x₂-0,203x₄=0

1,191x₂+0,203x₄=1266,239

x₂=1063,172-0,17x₄

II. 278,525-0,16x₂-0,431x₄=0

0,16x₂+0,431x₄=278,525

x₄=646,229-0,371x₂

III. 55255,72+4,35x₂+7,188x₄=0

-4,35x₂-7,188x₄=55255,72

x₂= -12702,464-1,652x₄

Построим область допустимых решений задачи, ограниченную прямыми:

x₂=1063,172-0,17x₄ (I)

x₄=646,229-0,371x₂ (II)

x₂= -12702,464-1,652x₄ (III)

Найдем max:

Рис. 1 График функции

Построим линию уровня 55255,72+4,35x₂+7,188x₄=0 и вектор градиента (4,35; 7,188). Будем передвигать линию уровня, пока не выйдем из многоугольника, что произойдет в точке A с координатами (1061; 257). В этой точке функция принимает максимальное значение 63330.

Ответ: Чтобы достичь максимальной прибыли предприятие должно выпустить 1061 изделий товара B и 257 изделий товара D.

Решение задачи симплекс-методом

Решим прямую задачу линейного программирования симплекс-методом. Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 30x₁+50x₂+62x₃+40x₄ при следующих условиях:

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

Выразим базисные переменные x₅ и x₆ через небазисные.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Поскольку задача решается на максимум, то переменную для включения в текущий план выбирают по максимальному положительному числу в уравнении для x₀.

В качестве новой переменной выбираем x₃.

Вычислим значения D₃ по всем уравнениям для этой переменной

и выберем из них наименьшее:

Вместо переменной x₆ в план войдет переменная x₃.

Выразим переменную x₃ через x₆ и подставим во все выражения.

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

Полагая небазисные переменные x₅ и x₃ равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x = (-12.09, -19.69, 0, -9.69, 0, 137.78), x₀ = 39955.5556

В качестве новой переменной выбираем x₂.

Вычислим значения D₂ по всем уравнениям для этой переменной.

и выберем из них наименьшее:

Вместо переменной x₅ в план войдет переменная x₂.

Выразим переменную x₂ через x₅ и подставим во все выражения.

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

Полагая небазисные переменные x₂ и x₃ равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x = (5.56, 0, 0, -6.16, 42.53, 70.67), x₀ = 61752.2804

В качестве новой переменной выбираем x₄.

Вычислим значения D₄ по всем уравнениям для этой переменной.

и выберем из них наименьшее:

Вместо переменной x₃ в план войдет переменная x₄.

Выразим переменную x₄ через x₃ и подставим во все выражения.

После приведения всех подобных, получаем новую систему, эквивалентную прежней:

Полагая небазисные переменные x₂ и x₄ равными нулю, получим новый допустимый вектор и значение целевой функции:

x = (3.27, 0, 15.36, 0, 26.32, 130.38), x₀ = 63337.3206

Выражение для x₀ не содержит положительных элементов. Найден оптимальный план.

Окончательный вариант системы уравнений:

Оптимальный план можно записать так:

x₂ = 1061

x₄ = 257.18

Так как необходимо определить плановые нормативы затрат ресурсов в расчете на единицу товара каждого наименования, обеспечивающие торговому предприятию максимум прибыли, то оптимальный план запишем так:

x₂ = 1061

x₄ = 257

Максимальная прибыль предприятия:

F(x) = 50*1061 + 40*257= 63330

Ответ: Чтобы прибыль максимальной – 63330 денежных единиц, предприятие должно выпустить 1061 изделий товара B и 257 изделий товара D.